Parábola

PARÁBOLA
Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.
Consideremos uma reta d e um ponto F não pertencente a d.
Na figura estão assinalados cinco pontos (P₁,P₂, V, P₃ e P) que são eqüidistantes do ponto F e da reta d.
Então, um ponto P qualquer pertence à parábola, se e somente se, d(P, F) =d(P, d) ou, de modo equivalente d(P, F) =d(P, P’) onde P’ é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d.
Elementos
Pela figura, tem-se:
Foco: é o ponto F.
Diretriz: é a reta d.
Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. É fácil ver pela própria definição de parábola que esta curva é simétrica em relação ao seu eixo.
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.
Equações Reduzidas
Consideremos dois casos:
1º O eixo da parábola é o eixo dos y
Seja um ponto P( x,y ) um ponto qualquer da parábola de foco F(0, p/2) e diretriz de equação y= -p/2.
A definição de parábola expressa pela igualdade d(P, F) =d(P, P’) é equivalente a
|FP|=|P’P||P-F| = |P-P’|P’ (x, y) ∈ d onde y=-p/2. ou em coordenadas
| (x-0, y-p/2) |= | (x-x, y+p/2) |
Resolvendo temos a equação reduzida da parábola x²= 2py p≠0 é o parâmetro da parábola
Se p>0 a parábola tem abertura para cima e, se p<0, para baixo.
O gráfico da equação é simétrico em relação ao eixo dos y.
2º O eixo da parábola é o eixo dos x
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F(p/2, 0) e diretriz x= -p/2 obteremos de forma análoga ao 1º caso, a equação reduzida y²=2px Conclui-se que se p>0, a parábola tem abertura para a direita e se p<0, para a esquerda.
Equações Paramétricas
Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é dos y: x²= 2py
Nesta equação, onde x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x=t ( t é chamado parâmetro) teremos y=( 1/2p)t².
Então, as equações paramétricas da parábola são: x = t y=( 1/2p)t², t ∈ R
Da mesma forma na equação y²=2px fazemos y =