Para aprendizagem

Função Composta
Podemos combinar duas funções para obter uma nova. Por exemplo, suponha que
( )

( )

√ e

que em última análise

. Uma vez que

é uma função de

que é uma função de , segue

é uma função de . Calculamos isso por substituição:
( )

( ( ))

(

)

√

O procedimento denomina-se composição, pois a nova função é composta de duas funções dadas e .
Em geral, quando temos duas funções f e g, tomamos um valor x no domínio da g e

calculamos sua imagem. Se g(x)

Dom(f) então nós podemos considerar o valor f(g(x)). O que

resulta desse procedimento é uma nova função h(x) = f(g(x)).

Definição: Dadas duas funções f e g, a função composta que denotamos por f g (lê-se f bola g) também conhecida como composição de f e g é definida por
(f g)(x) = f(g(x))
O domínio de f g é o conjunto de todos os pontos x definida por f(x) = x2 + 1 e g:

Exemplo 1. Sejam f:
Im(g)

e que é o domínio de f, ou seja, Im(g)

Dom(g) tais que g(x)

Dom(f).

dada por g(x) = 2x -3. Veja que

Dom(f). Assim, podemos considerar a função

composta f g e seu domínio será toda a reta real. Temos então uma nova função h = f

g:

definida por h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)2 + 1 que podemos escrever como h(x) = (2x - 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 9 + 1 = 4x2 – 12x + 10

Em geral, f

g≠g

f. Lembre-se que a notação f

g significa que aplicamos primeiro a

função g para depois aplicar f.

Exemplo 2. Voltando ao exemplo anterior vamos agora considerar a composição de g e f.
(g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = 2(x2 + 1) – 3 = 2x2 + 2 – 3 = 2x2 – 1

Veja que a composta g f é diferente de f g. Para x = 0 temos que
(f g)(x) = (f g) (0) = 4.02 – 12.0 + 10 = 0 – 0 + 10 = 10
(g f)(x)= (g f)(0)= 2.02 – 1 = 0 – 1 = -1 o que implica que (f g)(0) ≠ (g f)(0).

Os gráficos das duas funções confirmam que elas são diferentes.

f(g(x))

g(f(x))

se ( )

Exemplo 3. Encontre
(

)

( ( ( )))

Exemplo 4. Dada a