os zeros da funcao

Zeros Reais de Funções Reais

Métodos iterativos - Zeros
I.
II.
III.
IV.
V.

Método
Método
Método
Método
Método

da Bissecção da Posição Falsa do Ponto Fixo de Newton-Raphson da Secante

Introdução


Zero real da função real f (x) : ξ real é zero de f(x) se f (ξ ) = 0



Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.

Introdução


Graficamente, os zeros reais de f (x) são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo Ox f (x)

ξ2 ξ1 x

ξ3

Introdução






A obtenção dos zeros da função f (x) é dividida bem duas fases.
Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz)
Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ


Teorema 1. Seja f (x) contínua em [a, b]
Se f (a ) f (b) < 0, então existe pelo menos um x = ξ em ( a, b) que é zero de f (x) f (x)

a

ξ

b

x

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ


Teorema 2. Seja f (x) contínua em [ a, b] . Se f (a ) f (b) < 0 e se existir, f ′(x) que preserva o sinal em (a, b) , então este intervalo contem um único zero de f (x) f (x)

a

x

ξ

b

Parte 1
Formas de se localizar as raízes de f (x) :
 Tabelar f (x ) e analisar as mudanças de sinal de f (x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f (x) mudou de sinal.  Análise gráfica da função f (x ) .

Parte 1- Exemplo 1 / Método1
Seja f ( x) = x 3 − 9 x + 3. Sinais de

f (−∞) < 0 f (−5) < 0 f (1) < 0 f (5) > 0

f ( −100) < 0 f (−3) > 0 f ( 2) < 0 f (10) > 0

f (x)

f (− 10) < 0 f ( 0) > 0 f (3) > 0 f (+∞) > 0

As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de f (x ) . Veja ξ 1 ∈ ( − 5,− 3) .....

Parte 1- Exemplo 1 / Método 2
Façamos o gráfico de

f ( x) = x 3 − 9 x + 3 f (x)

− 4

− 3

− 2

−1

1

2

3

4

Novamente temos os