origem e fundamento do futsal

Cálculo 2
Curvas e Superfície de Nível

Prof. Msc. André Aranha

Cálculo 2

Curvas de Superfície de Nível
Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis.
O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.

Exemplo
1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana).
Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.

Exemplo
2.

As curvas de nível são os gráficos das equações

.

Exemplos:
Função Real - Curvas de Nível

z= 2+ 2 x y

Exemplos:
Função Real - Curvas de Nível

Exemplos:
Função Real - Curvas de Nível y 5
4
3
2
1

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5

x

Exemplos:
Função Real - Curvas de Nível

Exemplos:
Função Real - Curvas de Nível y 5
4
3
2
1

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

y

5
4
3
2
1

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5

x

2

3

4

5

x

Exemplo
3.

Curvas de nível:

.

Curvas de Superfície de Nível
Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.
Superfícies de nível

tal que

.

Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.

Curvas de Superfície de Nível

Exemplo

Curvas de Superfície de Nível
A superfície

Parabolóide
É o gráfico de f.

Uma curva de