Operações Lógicas

Operações lógicas em sentenças abertas
As operações lógicas podem também ser utilizadas junto a sentenças abertas, definidas em determinados conjuntos.
Negação
Considere p(x) uma sentença aberta, dependente de uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença da forma ~p(x) em A é obtido por meio do complementar do comjunto verdade Vp de p(x) em A. Simbolicamente, podemos escrever três formas equivalentes: V~pCavp=A-Vp
V~p = {x Є A / ~p(x) tem valor V}
V~p={xЄA/p(x) tem valor F}

Exemplo:
Seja p(x):x>2 uma sentença aberta em IN. Temos:
Vp={x Є IN / x > 2}={3,4,5,6,7,8,9, ...}
V~p= IN – {3,4,5,6,7,8,9, ...}
V~p={0,1,2}

Conjunção
Tenha p(x) e q(x) duas sentenças abertas, e dependentes de uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença aberta da forma p(x) ^q(x) em que A é obtido por meio da intersecção dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente.
Pode-se escrever simbolicamente:
Vp^q=Vp ᵔ Vq
Vp^q={x Є A / p(x) tem valor V} ᵔ {x Є A/ q(x) tem valor V}

Exemplo:
Sejam p(x):x4 em IR. Então:
Vp^q=Vp ᵔ Vq
Vp^q={x Є IR / x4}
Vp^q=]-∞, 6[ᵔ] 4, ∞[
Vp^q=]4,6[={x Є IR / 3 < x 7 e q(x): x =< 3 em IN. Então:
Vp→q=V~p ᵕ Vq
Vp→q={x Є IN / x= 1}]
Vp→ q= [{0,1,2}ᵕ{0,1}] ᵔ [{3,4,5, ...} ᵕ {2,3,4, ...}]
Vp→ q= {0,1,2} ᵔ {2,3,4, ...}
Vp→ q= 2