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O Mito das Ambig¨ uidades nas Representa¸c˜oes Decimais
Gentil Lopes da Silva∗
15 de agosto de 2008

Resumo
Este trabalho p˜ oe fim ` as intermin´ aveis pendengas sobre as representa¸c˜ oes decimais de reais do intervalo [ 0, 1 ]. Mostramos que as supostas ambig¨ uidades de algumas destas representa¸c˜ oes, tipo: 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . s˜ ao um mito. Aqui esclarecemos, em definitivo, igualdades tais como
0, 999 . . . = 1.

“E,

conquanto as ideias e o

pensamento matem´ aticos estejam em constante evolu¸ ca ˜o [. . .] a maioria dos problemas b´ asicos fundamentais nunca desaparece.” (G. Chaitin)

Introdu¸ c˜ ao: Neste trabalho abordaremos a quest˜ ao das representa¸co˜es decimais e perseguiremos, dentre outros, o seguinte objetivo: mostrar que as supostas ambig¨ uidades de tais representa¸co˜es s˜ ao um mito.
O conceito do ´eter revelou-se um fantasma criado pela imagina¸ca˜o dos f´ısicos do s´eculo XIX. Neste trabalho mostramos, igualmente, que representa¸co˜es tipo 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . n˜ ao tˆem “existˆencia real”; s˜ ao fantasmas criados pela imagina¸ca˜o dos matem´aticos.
Assim como foi decisivo, para o progresso da f´ısica, que se exorcizasse o fantasma do ´eter, cremos que igualmente ser´ a de relevˆancia para a matem´atica exorcizarmos os fantasmas das ambig¨ uidades. Mostraremos que o esclarecimento desta quest˜ ao − aqui a deixamos assaz cristalina − vai simplificar, ami´ ude, muitas constru¸co˜es matem´aticas; a exemplo da constru¸ca˜o da curva de Peano. Na referˆencia [4] mostramos uma (nova) constru¸ca˜o desta curva mais simples que as constantes na literatura.
Representa¸
co
˜es decimais
Existem duas alternativas para se definir as representa¸co˜es decimais: via convergˆencia de s´eries e via bije¸ca˜o entre conjuntos.
Para exemplificar a primeira alternativa (ver [2]/p´ ag. 231):
“Antes de definir ϕ, lembremos que os n´ umeros reais admitem n˜ ao somente uma express˜ ao decimal como tamb´em, fixado qualquer n´ umero b > 1, todo n´ umero