Nuemros complexos

- 1-

CIRCEL - APENDICE : NÚMEROS COMPLEXOS
INTRODUÇÃO: Os números complexos foram desenvolvidos pelo matemático K.
Gauss, a partir dos estudos da transformação de Laplace, com o único objetivo de solucionar problemas em circuitos elétricos.

CONSIDERAÇÃO INICIAL:


DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: UNIDADE IMAGINÁRIA “j”

Definimos a unidade imaginária “j” , como sendo um número não real de tal forma que: j 2  1

PROPRIEDADES: j0 = 1

;

j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ;

j1 = j

;

j5

j

2

j

3

= j x j

= -1 x j

1 x j = j

;

j

= -j ;

6

4

= j x j

2

=

1 x (-1)

=

-1 ;

j

= -1 (por definição) ;
2

= j4 x j1 =

7

4

3

=

1 x (-j )

=

-j

= j x j

CONCLUSÃO : (com N inteiro)

j4N = 1

;

j4N+1 = j

;

j 4 N + 2 = -1 ;

j 4 N + 3 = -j

1 - CONCEITO BÁSICO:


DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: NÚMERO COMPLEXO “ Z ”


Definimos número complexo ( Indicado por “ Z ” ) como sendo qualquer número que possa ser colocado na seguinte forma:



Z  a  jb

Onde : a é Denominado de Coeficiente Real e b é denominado de Coeficiente
Imaginário.
USJT- PROFS. MASSIMO/GEDIAEL – EDIÇÃO 2014

- 2-

Note-se então que um número complexo é definido por um par de valores, ao passo que um número real é definido por um único valor ; o que nos faz concluir que se um número real é um ponto numa reta ordenada, um número complexo será um ponto num plano imaginário. Visualizando:

Im
Núme ro Rea l
-2

-1

0

Núme ro
Comp lexo

Ib
1

2

Re ia Re

Pelo acima exposto, podemos concluir que :

a) Não existe sentido na comparação de dois Números Complexos, já que os mesmos não podem ser entendidos como pontos numa reta orientada, mas sim como pontos de um plano Imaginário ;
b) Números Complexos devem ser entendidos como ferramentas da matemática pura , sendo números não Reais ; razão pela qual não existe sentido em atribuir uma unidade aos