Método dos mínimos quadrador para engenharia

Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia

Departamento de Matemática

Cálculo Numérico

Projeto Aplicado 1
Aproximação de Funções - o Método dos Mínimos Quadrados

1. O objetivo dos métodos dos mínimos quadrados é aproximar a função dada por uma família linear nos parâmetros, isto é, definidas por expressões da forma: a1 g1(x) + a2 g2(x) + . . . + am gm(x)

de modo que :

f(x) ~ a1 g1(x) + a2 g2(x) + . . . + am gm(x) = F(x)

a distância entre f(x) e F(x) deve ser a menor possível.

Assim, os coeficientes a1, a2, ..., an que fazem com que F(x) se aproxime ao máximo de f(x) são os que minimizam a função:

que é equivalente a:

[pic]

Da forma polinomial, podemos generalizar este resultado para ajustarmos qualquer polinômio da forma:

y = a0 + a1x + a2x² + ... + anxn

aos pontos (xi, yi). Basta fazermos:

ri = yi – (a0 + a1xi + … + a2xi )

[pic]

Então, para encontrarmos os pontos a0 ,a1, ..., an, temos que resolver o mesmo sistema ATAX=ATY.

Efetuando os cálculos de ATA e de ATY, temos:

[pic]

Este procedimento pode ser generalizado para qualquer curva de ajuste da forma:

y = a0g0(x) + ... + angn(x)

desde que as funções gj(x) avaliadas nos pontos resultem em vetores linearmente independentes, que é uma condição necessária para que a matriz ATA seja invertível.

Para explicar porque a função encontrada é única devemos olhar para a matriz de Vandermonde.

O determinante de uma matriz de Vandermonde de tamanho n×n se expressa da seguinte forma:

[pic]

Dado um conjunto de n pares ordenados (xk,yk) com k variando de 1 a n, existe um polinômio P(x) de grau n-1 tal que Pn(xk) = yk . Para isso, resolvemos o sistema linear:

[pic]

Onde a primeira matriz é a matriz A. Considerando que os pontos x0,x1,x2,...,xn da matriz são distintos podemos deduzir