Método de Euler

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA1(MA63B)
Brochonski, Michael1
Pires, Nelson A.2
Souza, Rômulo I.3
Midorikawa, Thais Y.4
Resumo
Este artigo tem o intuito de resolver analiticamente uma determinada equação diferencial ordinária linear para compará-la, através de gráficos e tabelas, com a solução numérica obtida através do método de Euler (ou das Tangentes).
Palavras-chave: Solução numérica – Equações DiferenciaisOrdinárias – Método de Euler.

1 INTRODUÇÃO O Método de Euler é um método numérico utilizado se para obter um valor aproximado da solução de uma equação diferencial ordinária a partir de um valor inicial determinado. Sendo assim, este consiste na iteração sucessiva dos valores obtidos anteriormente, seguindo a fórmula:

Na qual: corresponde ao valor da variável independente na condição inicial acrescida de um pequeno intervalo. Tal intervalo determinará a precisão do ponto, ou seja, quanto menor ele for, maior a proximidade do ponto obtido a partir deste método com o ponto equivalente na solução analítica. corresponde ao diferencial na equação.

Assim, o gráfico da solução numérica é feito através da equação de reta para cada ponto:

Neste estudo trabalharemos com o seguinte problema de valor inicial: ,
Obtendo a solução analítica, através do método do fator integrante, e comparando-a com a solução numérica para três intervalos distintos, cada um com seis iterações, para averiguar a exatidão do Método de Euler, cuja demonstração pode ser encontrada em [1], [2] e [3]. Desta forma, no artigo estão contidos gráficos e tabelas comparativas.

2 DESENVOLVIMENTO e RESULTADOS O método do fator integrante consiste na obtenção da solução exata de uma equação linear na forma:

a partir da equação:

Na qual é chamado de fator integrante.
A partir de manipulações algébricas, temos que:

Desta maneira, a solução geral é dada por:

Utilizando-se a condição inicial, define-se o valor da constante C:

Portanto, a solução