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MATEMATICA:
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DIVISIBILIDADE:
Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo a divide um inteiro b se existe um inteiro c, tal que: b=a*c. Se a divide b, b é chamado múltiplo de a e a é chamado divisor de b. Se a divide b usamos o símbolo: a|b
Formalmente escreve-se que: b é divisor de a -------------------------------------------------
Propriedades da Divisibilidade
1) Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;
2) Se a é um inteiro, temos que: 1|a;
3) Se a é um inteiro, temos que: a|a;
4) Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
5) Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
6) Se a|b e b|c, temos que: a|c;
7) Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
8) Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| >|a| ou |b| = |a|;
9) Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
10) Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
11) Se ab|ac então: b|c;
12) Se b|c, então: ab|ac;
13) Se a|b, então (b/a)|b.
divisibilidade é a teoria do cogumelo, por que é uma almofada
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[editar]Algoritmo da Divisão
Teorema: Dados dois númerosinteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:
a = qb + r
Demonstração
Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxius, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,
qb ≤ a < (q + 1)b
segue deste teorema que
0 ≤ a - qb < b
definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nosagora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista  e  que satisfaça a = b + , temos
(qb + r) - (b + ) = 0
(q - )b = ( - r)
então
b | ( - r) (b divide ( - r))
Como  < b e r < b, segue que | - r| < b, concluímos que
 - r = 0 ⇒  = r
e
(q - )b = 0
qb =  ⇒ q = 
Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.
Exemplos
34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7+ 6
25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1

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NUMEROS RACIONAIS:

|
Conjuntos de números |
| |
Naturais 
Inteiros 
Racionais 
Reais 
Imaginários
Complexos 
Números hiper-reais
Números hipercomplexos | |
Quaterniões 
Octoniões 
Sedeniões 
Complexos hiperbólicos 
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
BiquaterniõesCoquaterniões
Tessarines | |
Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.
O conjunto dos números racionais (representado por ) é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientesde números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavrainglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros.
São exemplos de números racionais:      

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.
Os números racionais opõem-se aos números irracionais ().
Para representar o conjunto dos racionais não negativos podemos usar  e para representar o conjunto dos númerosracionais não positivos podemos utilizar  O número zero também faz parte do conjunto dos racionais. É comum usar um asterisco ao lado do símbolo que representa um determinado conjunto para indicar que se retirou o zero do mesmo, como em  (números racionais não nulos),  (racionais positivos) e  (racionais negativos). [carece de fontes]
Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações(próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:
* Fração: 
* Numeral misto: 5
* Números decimais de escrita finita: 8,35;
* Dízimas periódicas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);
Nesta...
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