Movimento

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Movimento Plano e Tridimensional
1) Uma partícula está se movendo ao longo da curva tendo como equações paramétricas

Se x e y são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em t segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial .
Resolução:A equação que descreve o vetor posição r(t), será dada por:
(1)
A velocidade escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade v(t), o qual é encontrado derivando se o vetor posição r(t) em relação ao parâmetro t.
(2)
Como r(t) é uma função vetorial tem se que a derivada de r(t) é a derivada de cada uma de suas componentes vetoriais:

Derivando cada componente do vetor r(t):


Logo,Com o vetor velocidade v(t) encontrado, sabe-se que a velocidade escalar é dada pelo módulo do vetor v(t).


A Velocidade escalar é de 2 cm/s (Resposta 1).
O vetor aceleração a(t) é dado pela derivada do vetor velocidade v(t) ou pela derivada segunda do vetor posição r(t):

Como o vetor velocidade v(t) já foi encontrado, então ele será o vetor usado para encontrar o vetor aceleração a(t).Como v(t) é uma função vetorial, para encontrar sua derivada basta derivar cada uma de suas componentes vetoriais:



Derivando as componentes do vetor v(t):


Logo o vetor a(t) será:

O módulo então do vetor aceleração será dado por

O módulo da aceleração será de 1 m/s² em qualquer instante de tempo t, ou seja, a aceleração da partícula é constante. (Resposta 2)
Pela análise dafunção vetorial de r(t) pode se deduzir que o gráfico de r(t) será uma semicircunferência de raio 4, com t[0,2pi]. O vetor velocidade v(t) será tangente a trajetória de r(t) em todos os pontos. No entanto analisando o vetor aceleração a(t) percebe que este será paralelo ao vetor r(t) mas com sentido contrário.
COLOCAR O GRAFICO AQUI!
2) A posição de uma partícula em movimento no instante t é dada pelaequação vetorial

Encontre V(t),A(t), //V(t)// e //A(t)//. Faça um esboço da trajetória da partícula e das representações do vetor velocidade e do vetor aceleração, tendo como ponto inicial onde t=1/2.
Resolução:
Se a posição da partícula é dada pela equação

O vetor velocidade V(t) pode ser encontrado derivando em relação ao tempo, e o vetor A(t) pode ser encontrado derivando duas vezesem relação ao tempo ou derivando o vetor V(t) em relação ao tempo.
Como é uma função vetorial sua derivada é dada pela derivada de cada uma de suas componentes:

Derivando então as componentes de :


Logo o vetor V(t) será
(Resposta 1)
O módulo de V(t) será:

A velocidade escalar, dada por /V(t) /, será m/s (Resposta 2)
Derivando se V(t) encontra se A(t), como V(t) é uma funçãovetorial;

Derivando cada uma das componentes de V(t):


Logo,
(Resposta 3)
O Módulo de A(t) será:

A aceleração instantânea da partícula será m/s² (Resposta 4)
COLOCAR O GRAFICO AQUI!
3) Um projétil é atirado de uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é . Sua velocidade na boca da arma é de 480 m/s. Encontre (a) o vetor posição do projétil em qualquer instante; (b) otempo de voo; (c) o alcance; (d) a altura máxima; (e) o vetor velocidade no impacto; (f) o vetor posição e o vetor velocidade em 2 s; (g) a velocidade escalar em 2 s; e (h) a equação cartesiana da curva do projétil.
Resolução:
Para resolver este exercício serão usadas algumas hipóteses de modelagem:
A massa m do objeto será considerada constante
A única força externa que agirá sobre o objetoserá a força gravitacional ou força peso, logo a resistência do ar e força gravitacional de outros corpos celestes será desprezada.
O objeto permanece suficientemente próximo da terra para que a aceleração g da gravidade permaneça constante.
O sistema de coordenadas adotado é o sistema cartesiano xy.
Pela Segunda lei de Newton temos:
(3)
Considerando que a única força externa agindo sobre o...