Mn Aula07 Equacoes

Resolução de equações não lineares

Raiz de uma equação


Raiz exata
 Um

número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(xr)=0 

Raiz aproximada
 Um

número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0



Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata

Calculando as raízes
Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário:
 1) delimitar, enumerar e separar as raízes
 2) utilizar um método numérico para calculo de cada raiz


Equações algébricas polinomiais


A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1
+...a1x1+a0 é algébrica e polinomial

n é um número natural denominado grau da equação
 Os coeficientes ai, i=0...n são números reais 

Equações algébricas polinomiais


Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

Multiplicidade de raizes
Uma raiz tem grau de multiplicidade m se:
 anula a função que origina a equação




Anula as derivadas até a ordem m-1



Não anula a derivada de ordem m

Exemplo


A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2

f(2)=0
 f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0
 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2


Equações algébricas polinomiais
As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)
 Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real


Delimitação de raízes reais







Limite superior positivo-teorema de Lagrange
Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 ≠ 0
Para limite superior de suas raízes positivas, caso existam pode ser tomado o número
L 1  n  k M an K= grau do 1º termo negativo
M= módulo do menor coeficiente negativo

Exemplo


Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Exemplo


Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x5+x4-8x3-16x2