Metodos deterministico

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CEDERJ ´ METODOS DETERMIN´ ISTICOS 1 - EP08

Prezados Alunos, Neste EP o ponto chave ´ a compara¸˜o de n´ meros reais. Trabalharemos primeiro com e ca u a ordena¸˜o dos n´ meros na reta, a partir disso, poderemos definir conjuntos especiais que ca u chamamos de intervalos e poderemos tamb´m trabalhar com inequa¸˜es. e co Estude com aten¸˜o o material impresso e tente resolver todos os exerc´ caıcios. E n˜o deixe a de procurar seus tutores para resolver qualquer d´ vida. u Bom trabalho, Michelle Dysman
Acredito que vocˆ j´ tenha o conhecimento chave sobre o qual construiremos os conceitos deste EP, este e a conhecimento chave ´ a ordem dos n´meros reais na reta. Apenas para lembrar, eles se distribuem de forma e u que quanto maior o n´mero, mais para a direita ele se encontra, quantomenor, mais para a esquerda. Mais u detalhes e exemplos vocˆ encontra no seu material impresso. e

Quest˜o 1. Coloque em ordem crescente os n´ meros reais: a u a) 3/4, 3/5, −5/3, −4/3

b) −1, −2, −5, −9/4

c) 2/8, 2/4, 3/4, −4/4

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Dispondo deste conhecimento chave, podemos definir conjuntos especiais de n´ meros reais que chamamos u de intervalos (como acabo de dizer, intervalos s˜oconjuntos, ent˜o tudo que vocˆ estudou sobre conjuntos a a e nos EPs anteriores se aplica aos intervalos). Os intervalos finitos est˜o caracterizados na defini¸ao 8.1 de a c˜ seu material impresso, e os intervalos infinitos na defini¸ao 8.2. Ap´s estudar estas defini¸oes, tente fazer os c˜ o c˜ exerc´ ıcios a seguir.

Quest˜o 2. Encontre os conjuntos resultantes das opera¸˜es abaixo: a co a) (−5, 10) ∩[6, 12)

b) [10, 30) ∩ (15, 23]

c) [−1, 5) ∩ (5, 10]

d) [−3, 2) ∪ [1, ∞)

Quest˜o 3. Verifique se s˜o falsas ou verdadeiras as proposi¸˜es abaixo. Justifique sua a a co resposta. a) (−3, 4) ⊂ [−3, 4]

b) [10, 30) ⊂ (10, ∞)

c) [−1, 5) ∪ (5, 10] = [−1, 10]

2

d) ∅ ⊂ [−1, 2)

e) (−∞, 5) ∪ [3, ∞) = R

Agora vamos entrar no ponto que ´ fonte de algumas dificuldades: as inequa¸oes.Antes de falarmos e c˜ sobre elas precisamos nos certificar de que vocˆ sabe o que ´ uma equa¸ao. Vamos fazer um teste. Decida e e c˜ se as express˜es abaixo s˜o ou n˜o s˜o equa¸oes: o a a a c˜ x+2=5 x + y = 10 √ 3 x6 + x4 − x x2 + 3x + 7 > 0 (a + b)2 = 16 Vocˆ acertou se disse que a primeira, a segunda e a quinta s˜o equa¸oes, e a terceira e a quarta n˜o. e a c˜ a A palavra equa¸ao significaigualdade (vocˆ pode encontrar outros termos com prefixo “eq” que tamb´m se c˜ e e relacionam a igualdades: equil´tero significa lados iguais, equidistantes significa a iguais distˆncias, procure a a outros exemplos). Ent˜o, a terceira e a quarta express˜es na lista acima n˜o s˜o equa¸oes porque n˜o s˜o a o a a c˜ a a igualdades. S˜o express˜es matem´ticas, mas n˜o do tipo que chamamos de equa¸ao. a o a ac˜ Uma inequa¸ao ´ uma compara¸ao entre os valores de duas express˜es. Ent˜o, onde numa equa¸ao temos c˜ e c˜ o a c˜ o sinal de igual (=), numa inequa¸ao temos um dos sinais >, 10, ent˜o, x > −10. Repito que isso est´ errado, a´ a a ı est´ um dos erros mais comuns com inequa¸oes. Veja, se −x > 10 significa que −x ∈ (10, ∞), mas para −x a c˜ pertencer a este intevalo, ´ necess´rio que x perten¸a aointervalo (−∞, −10), isto ´, que tenhamos x < −10. e a c e A frase correta seria: se −x > 10, ent˜o, x < −10. E a moral da hist´ria ´: quando trocamos os sinais das a o e

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express˜es em uma inequa¸ao (isto ´, multiplicamos os dois lados por -1) o lado menor passa a ser maior e o c˜ e o lado maior passa a ser menor. Mais um detalhe importante: ´ normal que uma inequa¸ao admita como respostatodos os elementos de e c˜ um certo intervalo. Neste caso, dizemos que tal intevalo ´ o conjunto das respostas da inequa¸ao. e c˜

co Quest˜o 4. Encontre o conjunto das respostas das inequa¸˜es a seguir. a a) x + 10 > 7

b) −x < 34 + 3x

c) 7x + 12 ≤ 0

d) 4x + 3 ≥ 5x + 2

GABARITO
1. a) −5/3 < −4/3 < 3/5 < 3/4 b) −5 < −9/4 < −2 < −1 c) −4/4 < 2/8 < 2/4 < 3/4

4

2.

a) (−5,...
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