metodo de pegaso

Universidade Federal do Amazonas

Trabalho Prático de Calculo Numérico
Prof.: Fabíola Nakamura

1. Fundamentação Teórica

Método de Pégaso
De modo similar aos outros métodos baseados em aproximação linear, no método de Pégaso a sequencia { xi} é obtida pela fórmula de recorrência:
Xk= xk- * (xk – xk-1) , k=1,2,3...
Os pontos [xk-1 , f(xk-1)] pelos quais será traçada a reta para obter xk+1 são escolhidos de modo que f(xk-1) e f(xk) tenham sempre sinais opostos, garantindo assim que £ pertença a [xk-1 , f(xk-1)]. Além do mais, o valor de f(xk-1) é reduzido por um fator igual à de modo a evitar a retenção de um ponto, como ocorre no Regula falsi.Deste modo, a reta pode ser traçada por um ponto não pertencente à curva de f(x)
A Fig. 1, ilustra graficamente o método. Deve ser observado que a estimativa x4 da raiz é obtida usando pontos de coordenadas [x3,f(x3)] e [x1,p], sendo p= f(x1)*(fx2)/(f(x2)+ f(x3) o qual não pertence à função f(x).

Fig.1. Interpretação gráfica do método de Pégaso
Método de Newton
Sejam £ a única raiz de f(x)=0 no intervalo [a,b] e xk uma aproximação dessa raiz, sendo que x­0 Є [a,b]. Além disso, as derivadas f’(x) e f”(x) devem existir, ser contínuas e com sinal constante nesse intervalo. Geometricamente, o método de Newton é equivalente a aproximar um arco de uma curva por uma reta tangente traçada a partir de um ponto da curva, o que faz com que seja conhecido como método das tangentes. Considerando a Fig.2 na qual:
Tg(α)= f(x0)/(x0-x1)=f’(x0)  x1=x0 – f(x0)/f’(x0) e
Tg(β)= f(x1)/(x1-x2)=f’(x1)  x2=x1 – f(x2)/f’(x1)
A generalização dessas expressões fornece a fórmula de recorrência do método de Newton:

Teorema. Se f(a)*f(b) < 0 , e f ’(x) e f ”(x) forem não nulas e preservarem o sinal em [ a, b], então partindo-se da aproximação inicial x0 Є [a,b] tal que f(x0)*f “(x0) >0 é possível construir pelo método de Newton, uma sequencia que convirja para raiz £ de f(x)=0.
Por este teorema, o