Mecânica dos fluidos

Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Dados do problema[editar código-fonte]

r1 12 cm r2 12.6 cm l 30 cm ω1 60 rpm ω2 0 rpm
Ω 9.0 kg.cm μ a calcular

Solução 1[editar código-fonte]

Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.

O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:

\Omega \;=\; \tau \cdot \bar A \cdot \bar r \Rightarrow \;\;\; \tau \;=\; \frac{\Omega}{\bar A \cdot \bar r} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi \bar r l \cdot \bar r}

A velocidade tangencial do cilindro móvel é

v_1 \;=\; \omega_1 r_1

Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r2 - r1 uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por

\mu \;=\; \frac{\tau}{\frac{v_1}{\Delta r}} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi \bar r l \cdot \bar r \cdot \frac{\omega_1 r_1}{r_2 \;-\; r_1}} \;=\; \frac{\Omega (r_2 \;-\; r_1)}{2 \pi r_1 l \omega_1 \bar r ^2} \;=\; \frac{\Omega (r_2 \;-\; r_1)}{2 \pi r_1 l \omega_1 (\frac{r_2 \;+\; r_1}{2})^2}

\mu \;=\; \frac{2 \Omega (r_2 \;-\; r_1)}{\pi r_1 l \omega_1 (r_1 \;+\; r_2)^2}

\;=\; \frac{2 \cdot 9.0 \; kg \cdot cm \cdot (12.6 \; cm \;-\; 12 \; cm)}{\pi \cdot 12 \; cm \cdot 30 \; cm \cdot 60 \; rpm \cdot (12 \; cm \;+\; 12.6