Matrizes e determinantes (apontamentos)

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. ÁlgebraLinear com Aplicações

1.1

INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE

particulares podem ser obtidas substituindo t por valores espeeí ficos.Porexemplo,t=3dáasoluçãox= 3,y 1~ et dá asoluçãox=—~,y=—4.
—~

EQUAÇÕES LINEARES
Os sistemas de equações algébricas lineares e suas soluções constituem um dos príncípais tópicos estudados cm cursos co nfiecídos como “de Algebra Línear.” Nesta primeira seção nósiremos íntrqdüzír ai 9111110 terminologia Nsíca e discutir um inóto do para resohier estes sistemas.

Seguindo a segunda abordagem e dando um valor arbitrário para y, obtemos

Equações Lineares Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma
-

Embora estas fórmulas sejam diferentes das obtidas acima, fornecem o mesmo conjunto-solução ‘a medidaque t varia sobre todos os valores reais possíveis. Por exemplo, as fórmulas ante riores dão a solução x = 3, y = ~ quando t = 3, enquanto as fór mulas acima dão esta solução para E = Solução (li). Para encontrar o conjunto-solução de (b), nós podemos atribuir valores arbitrários a quaisquer duas variáveis e resolver na terceira variável. Em particular, dando os valores arbitrários s e t para x2 ex3, respectivamente, e resolvendo em x1, nós obtemos
x15+4s—7r, x2=s, x3~r 4

aix±aay=b

onde a1, a,e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma é chamada urna equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, nós definimos uma equação linear nas n variáveis x» x, x~ corno uma equação que pode ser expressa na forma
aix,ta2xa-l-»-[-a~x~=b

onde a1,a2, a~ e b são constantes reais. As variáveisde uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas.
...,

As equações
x+3y=7,
y=~xt3z+l
e

Sistemas Lineares Um conjunto finito de equações li neares nas variáveis x~, x, x~ é chamado um sistema de equações lineares ou um sistema linear. Uma seqUência de números s~, s2 s,, é chamada uma solução do sistema se = s1, x2 = s, = s~ é umasolução de cada equação do sistema. Por exemplo, o sistema
4xj
X2 -1- 3x~ 3x1 +x2 + 9x3
=

x1—2x2—3x3--x4=7

=

—1 —4

são lineares. Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou expo~ nenciais. As equações
x-F3,fi=5.3x+2y—z+xz=4 e y—senx

tem a solução x1 = 1, = 2, x3 = —1 pois estes valores satisfazem ambas equações. No entanto, x1 = 1, = 8, x3 = 1 não é unia solução do sistema pois estes valores satisfazem apenas a primeira das duas equações do sistema. Nem todos os sistemas de equações lineares têni solução. Por exemplo, multiplicando a segunda equação do sistema
X+

são não-lineares.

+

y=42x + 2y =6

=

Uma solução de urna equação linear a1 x1 + a2x2 + ~- + b é uma seqüência de ri números s~, s~, ..., s~ tais que a

equação é satisfeita quando substituimos x1 = s1, x2 = = s,. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado seu conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação.

por [orna-se evidente que não existem soluções, pois o sis tema equivalente
x+y = 4 x+y=3

4,

~
Encontre o conjunto-solução de (a) 4x 7x3= 5.


=

1 e (b) x1
-



4x2 +

Solução (a). Para encontrar soluções de (a), nós podemos atribuir um valor arbitrário a x e resolver em y, ou escolher um valor arbitrário para y e resolver em x. Seguindo a primeira abordagem .e dando, um valor arbitrário t para x, obtemos
x=t, y=2:—4

que resulta tem equações...
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