matematica

OPERAÇÕES BINÁRIAS
Considere um conjunto A não vazio. Uma função ∗ : A × A → A é denominada de operação binária sobre o conjunto A. Desta forma fica definida uma estrutura algébrica [ A,∗] .
Exemplos: [N,+ ] , [Z,+ ] , [Q * ,⋅] , [C,+ ] , [ Matn (R ),+ ] e [ Fun(R ),o]

Propriedades
Uma operação binária ∗ : A × A → A é:
ƒ associativa quando para quaisquer x, y, z ∈ A , ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z )
ƒ possui elemento neutro quando existe e ∈ A tal que para todo x ∈ A , x ∗ e = e ∗ x = x
ƒ possui elemento simétrico (ou inverso) quando para todo x ∈ A , existe x′ ∈ A , x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
ƒ comutativa quando para quaisquer x, y ∈ A , x ∗ y = y ∗ x
Além destas propriedades, tem-se que um elemento x ∈ A é denominado elemento idempotente quando x ∗ x = x e um elemento z ∈ A é denominado elemento zero quando para todo x ∈ A , z∗x = x∗z = z.
Exemplos:
1) [Z,+ ] satisfaz as propriedades associativa, comutativa, possui elemento neutro, e = 0 , e todos os elementos possuem simétricos, x′ = − x . O único elemento idempotente é o zero e não possui elemento zero.
2) [Z,⋅] satisfaz as propriedades associativa, comutativa possui elemento neutro, e = 1 , e os únicos elementos invertíveis {+1,−1} . Os elementos idempotentes são {0,+1} e o elemento zero é o zero.

Estruturas com uma operação

A estrutura [ A,∗] é denominada:
ƒ semigrupo quando a operação binária ∗ é associativa.
ƒ monóide quando a operação binária ∗ é associativa e possui elemento neutro.
ƒ grupo quando a operação binária ∗ é associativa, possui elemento neutro e todos os elementos possuem simétrico.
Sempre que a operação binária ∗ for comutativa, a classificação passa a ser: semigrupo, monóide ou grupo, comutativo ou abeliano.
Exemplos: Semigrupo: [{a, b},∗] tal que

∗ a b a a a b b b

Monóide: [ Fun(R ),o]
Monóide comutativo: [N,+]
Grupo: [ Mat n (R ),.]
Grupos comutativos: [Z,+] , [C,+] e [ Matn (R ),+ ]

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Estrutura com duas operações: Anel

Considere um conjunto