Matematica

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Universidade Federal da Bahia - UFBA ´ Instituto de Matematica - IM
´ Curso de Analise Real Vol 1, Elon Lages Lima Exerc´ ıcios Resolvidos

´ Analise Real

Belmiro Galo da Silva

Salvador-Bahia Julho de 2010

Cap´ ıtulo 1
Quest˜o 1 a
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades : 1o X ⊃ A e X ⊃ B 2o Se Y ⊃ A e Y ⊃ B ent˜o Y ⊃ X. a Prove que X = A∪B.Demonstra¸˜o. ca “⊃” A∪B⊂X Seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ A ou ω ∈ B Se ω ∈ A, ent˜o ω ∈ X pois A ⊂ X pela 1a propriedade a Se ω ∈ B, ent˜o ω ∈ X pois B ⊂ X pela 1a propriedade a Com isso, conclu´ ımos que qualquer que seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ X Portanto A ∪ B ⊂ X “⊂” X⊂A∪B Seja Y = A ∪ B, com isso, temos: A ⊂ Y, pois A ⊂ A ∪ B B ⊂ Y, pois B ⊂ A ∪ B Portanto pela 2a propriedade, temos que X ⊂ Y Ouseja, X ⊂ A ∪ B ∴ De “⊃”e de “⊂”conclu´ ımos que X= A ∪ B.

Quest˜o 3 a
Sejam A, B ⊂ E. Prove que A ∩ B =∅ se, e somente se, A ⊂ Bc . Prove tamb´m e que A ∪ B= E se, e somente se, Ac ⊂ B. a) A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ Bc b) A ∪ B = E ⇔ Ac ⊂ B Demonstra¸˜o. ca a)“⇒” A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊂ Bc Vamos supor que A ⊂ B c . Seja x ∈ A, por defeni¸ao de complementar x ∈ Ac . c˜ 2

Pela suposi¸ao x ∈ B c e peladefini¸ao de complementar x ∈ B. c˜ c˜ Com isso, temos que x ∈ A e x ∈ B. Logo x ∈ A ∩ B. Conclu´ ımos que A ∩ B = ∅ “⇐” A ⊂ Bc ⇒ A ∩ B = ∅ Seja x ∈ A, temos que x ∈ Bc e por defini¸ao de complementar x ∈ B, com isso x ∈ A e c˜ x ∈ B. Logo, x ∈ A∩ B. Como o x ´ arbritr´rio. A ∩B = ∅. e a ∴ De “⇒”e de “⇐”conclu´ ımos que A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ B c . b) “⇒” A ∪ B = E ⇒ Ac ⊂ B Vamos supor que Ac ⊂ B. Seja x ∈ Ac . Pordefini¸ao de complementar x ∈ A. c˜ Pela suposi¸ao x ∈ B, por defini¸ao de complementar x ∈ Bc . c˜ c˜ Como, x ∈ A e x ∈ B, x n˜o pertence a uni˜o dos conjuntos pois ele n˜o ´ elemento de a a a e nenhum dos dois conjuntos, e portanto a uni˜o ´ diferente de E, que ´ o espa¸o todo. a e e c Com isso, A ∪ B = E. “⇐” Ac ⊂ B ⇒ A ∪ B = E Vamos dividir essa implica¸ao em dois casos: c˜ (i) para A ∪ B ⊂ E(ii) para A ∪ B ⊃ E (i) ´ trivial pois E ´ o espa¸o todo e portanto ele cont´m qualquer outro subconjunto. e e c e (ii) Vamos supor que E ⊂ A ∪ B, existe x2 ∈ E tal que x2 ∈ A ∪ B, ou seja, x2 ∈ A e x2 ∈ B. Como x2 ∈ A por defini¸˜o de complementar x2 ∈ Ac ca Conclu´ ımos que x2 ∈ Ac e x2 ∈ B. Logo Ac ⊂ B. Contadi¸ao. c˜ E ⊂ A ∪ B. De (i) e (ii) conclu´ ımos que Ac ⊂ B ⇒ A ∪ B = E. De “⇒”e de“⇐”conclu´ ımos que A ∪ B = E se, e somente se, Ac ⊂ B.

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Quest˜o 4 a
Dados A, B ⊂ E. P rove que A ⊂ B ⇔ A ∩ B c = ∅ Demonstra¸˜o. ca “⇐” A ∩ Bc = ∅ ⇒ A ⊂ B V amos supor que A ⊂ B. Tome x ∈ A tal que x ∈ B, temos que x ∈ Ac por defini¸˜o de ca complementar. E temos tamb´m que se x ∈ B por defini¸˜o de complementar x ∈ B c e ca Com isso, x ∈ A e x ∈ B c , logo x ∈ A ∩ B c ∴ A ∩ B c = ∅, Afirma¸aoverdadeira por contrapositiva. c˜ “⇒” A ⊂ B ⇒ A ∩ Bc = ∅ Seja x ∈ A. Como A ⊂ B, x ∈ B Por defini¸ao de complementar x ∈ Ac e x ∈ B c c˜ Com isso, x ∈ A e x ∈ B c . Logo X ∈ A ∩ B c ∴ A ∩ Bc = ∅ De “⇒”e de “⇐”conclu´ ımos que A ⊂ B ⇔ A ∩ B c = ∅.

Quest˜o 5 a
Dˆ exemplo de conjuntos A, B, C tais que: e (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) Constru¸˜o. ca Um exemplo simples seria: A = 3N, B = 4N, C = 2N, sendo N oconjunto dos naturais. Para melhor compreens˜o, temos um outro exemplo: a Seja A = {3,6,9,12} ; B = {4,8,12,16} ; C = {2,4,6,8,10,12,14,16} (A ∪ B) = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}, com isso, (A ∪ B) ∩ C = {4, 6, 8, 12, 16} Por outro lado, (B ∩ C) = {4, 8, 12, 16}, com isso, A ∪ (B ∩ C) = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}

Mostramos acima, exemplos de que (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) 4

Quest˜o 6 a
Se A, X ⊂ Es˜o tais que A ∩ X = ∅ e A ∪ X = E. Prove que X = Ac a Demonstra¸˜o. ca “⊂” X ⊂ Ac Vamos supor que X ⊂ Ac . Logo existe ω1 ∈ X tal que ω1 ∈ A. Por defini¸ao de complec˜ mentar ω1 ∈ A Logo, se ω1 ∈ X e ω1 ∈ A, ω1 ∈ A ∩ X Com isso, A ∩ X = ∅. Contradi¸ao, pois A ∩ X = ∅ c˜ ∴ X ⊂ Ac “⊃” X ⊃ Ac Vamos supor que Ac ⊂ X. Logo existe ω2 ∈ Ac tal que ω2 ∈ X. Por defini¸ao de complementar de A, ω2 ∈...
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