Matematica

MA 14 - Aritm´tica e Resumos das Unidades 1 e 2
Abramo Hefez

PROFMAT

SBM

Unidade 1
Divisibilidade

O nosso objeto de estudo neste curso ´ o conjunto dos e n´meros inteiros: u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Em Z h´ um subconjunto que se destaca, o conjunto dos a n´meros naturais: u N = {1, 2, 3, . . .}.

Dados dois n´meros inteiros quaisquer, ´ poss´ som´-los, u e ıvel a subtra´ ı-los e multiplic´-los, mas nem sempre ´ poss´ a e ıvel dividir um pelo outro.
S´ existe a Aritm´tica nos inteiros porque a divis˜o nem o e a sempre ´ poss´ e ıvel.
Diremos que um n´mero inteiro a divide um n´mero inteiro u u b, escrevendo a|b, quando existir c ∈ Z tal que b = c · a.
Neste caso, diremos tamb´m que a ´ um divisor ou um fator e e de b ou, ainda, que b ´ um m´ltiplo de a e u

Exemplos
• 1|0, pois 0 ´ m´ltiplo de 1: eu 0 = 0 · 1;

• −2|0, pois 0 ´ m´ltiplo de −2: eu • 1|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 1: eu 0 = 0 · (−2);

6 = 6 · 1;

• −1| − 6, pois −6 ´ m´ltiplo de −1: eu • 2|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 2: eu −6 = 6 · (−1);

6 = 3 · 2;

• −3|6, pois 6 ´ m´ltiplo de −3: eu 6 = (−2) · (−3).

Note que se a|b, com um jogo de sinais, ´ f´cil mostrar que ea ±a| ± b.
A nega¸˜o da senten¸a a | b ´ representada pelo s´ ca c e ımbolo: a | b, significando que n˜o existe nenhum n´mero inteiro c tal que a u b = c · a.
Por exemplo, 3 | 4 e 2 | 5.

Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = c · a.
O n´mero inteiro c ´ chamado de quociente de b por a e u e b denotado por c = . a Por exemplo,
0
= 0,
1

0
= 0,
−2

6
= 6,
1

6
= 3,
2

6
= −2.
−3

−6
= 6,
−1

Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade. Proposi¸ao c˜ Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que
i) 1|a, a|a e a|0. ii) se a|b e b|c, ent˜o a|c (Propriedade transitiva). a Demonstra¸˜o: (i) Isto decorre das igualdades a = a · 1, ca a = 1 · a e 0 = 0 · a.
(ii) a|b e b|c implica que