Matematica

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 8 (1865 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 25 de agosto de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
MA 14 - Aritm´tica
e
Resumos das Unidades 1 e 2
Abramo Hefez

PROFMAT

SBM

Unidade 1
Divisibilidade

O nosso objeto de estudo neste curso ´ o conjunto dos
e
n´meros inteiros:
u
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Em Z h´ um subconjunto que se destaca, o conjunto dos
a
n´meros naturais:
u
N = {1, 2, 3, . . .}.

Dados dois n´meros inteiros quaisquer, ´ poss´ som´-los,u
e
ıvel
a
subtra´
ı-los e multiplic´-los, mas nem sempre ´ poss´
a
e
ıvel
dividir um pelo outro.
S´ existe a Aritm´tica nos inteiros porque a divis˜o nem
o
e
a
sempre ´ poss´
e
ıvel.
Diremos que um n´mero inteiro a divide um n´mero inteiro
u
u
b, escrevendo
a|b,
quando existir c ∈ Z tal que b = c · a.
Neste caso, diremos tamb´m que a ´ um divisor ou um fator
e
e
de b ou,ainda, que b ´ um m´ltiplo de a
e
u

Exemplos
• 1|0, pois 0 ´ m´ltiplo de 1:
eu

0 = 0 · 1;

• −2|0, pois 0 ´ m´ltiplo de −2:
eu
• 1|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 1:
eu

0 = 0 · (−2);

6 = 6 · 1;

• −1| − 6, pois −6 ´ m´ltiplo de −1:
eu
• 2|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 2:
eu

−6 = 6 · (−1);

6 = 3 · 2;

• −3|6, pois 6 ´ m´ltiplo de −3:
eu

6 = (−2) · (−3).

Note que se a|b,com um jogo de sinais, ´ f´cil mostrar que
ea
±a| ± b.
A nega¸˜o da senten¸a a | b ´ representada pelo s´
ca
c
e
ımbolo:
a | b,
significando que n˜o existe nenhum n´mero inteiro c tal que
a
u
b = c · a.
Por exemplo, 3 | 4 e 2 | 5.

Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = c · a.
O n´mero inteiro c ´ chamado de quociente de b por a e
u
e
b
denotado por c = .
a
Por exemplo,
0= 0,
1

0
= 0,
−2

6
= 6,
1

6
= 3,
2

6
= −2.
−3

−6
= 6,
−1

Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da
divisibilidade.

Proposi¸ao

Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que
i) 1|a, a|a e a|0.
ii) se a|b e b|c, ent˜o a|c (Propriedade transitiva).
a
Demonstra¸˜o: (i) Isto decorre das igualdades a = a · 1,
ca
a = 1 · a e 0 = 0 · a.
(ii) a|b e b|c implica queexistem f, g ∈ Z, tais que
b = f · a e c = g · b.
Substituindo o valor de b da primeira equa¸˜o na outra,
ca
obtemos
c = g · b = g · (f · a) = (g · f ) · a,
o que nos mostra que a|c.

O item (i) da proposi¸˜o acima nos diz que todo n´mero
ca
u
inteiro ´ divis´ por 1 e por si mesmo.
e
ıvel

Listaremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade,
cujas provas s˜o semelhantes `sfeitas acima.
a
a
Sejam a, b, c, d ∈ Z. Tem-se que
i) a|b e c|d =⇒ a · c|b · d;
ii) a|b =⇒ a · c|b · c;
iii) a|(b ± c) e a|b =⇒ a|c;
iv) a|b e a|c =⇒ a|(xb + yc), para todos x, y ∈ Z.
v) Se a, b ∈ N, tem-se que a|b =⇒ a

b.

´
E importante interiorizar as propriedades acima, pois elas
ser˜o utilizadas a todo momento.
a

As proposi¸˜es a seguir ser˜o de grande utilidade.
co
aProposi¸ao

Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a − b divide an − bn .
Demonstra¸˜o:
ca

Vamos provar isto por indu¸˜o sobre n.
ca

A afirma¸˜o ´ obviamente verdadeira para n = 1, pois a − b
ca e
divide a1 − b1 = a − b.
Suponhamos, agora, que a − b|an − bn . Escrevamos
an+1 − bn+1 = aan − ban + ban − bbn = (a − b)an + b(an − bn ).
Como a − b|a − b e, por hip´tese, a − b|an − bn , decorreda
o
igualdade acima e da Propriedade (iv) que
a − b|an+1 − bn+1 .
Estabelecendo assim o resultado para todo n ∈ N.

Proposi¸ao

Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide
a2n+1 + b2n+1 .
Demonstra¸˜o: Tamb´m por indu¸˜o sobre n.
ca
e
ca
A afirma¸˜o ´, obviamente, verdadeira para n = 0, pois a + b
ca e
1 + b1 = a + b.
divide a
Suponhamos, agora, que a + b|a2n+1 + b2n+1 .Escrevamos
a2(n+1)+1 +b2(n+1)+1 = a2 a2n+1 −b2 a2n+1 +b2 a2n+1 +b2 b2n+1 =
(a2 − b2 )a2n+1 + b2 (a2n+1 + b2n+1 ).
Como a + b divide a2 − b2 = (a + b)(a − b) e, por hip´tese,
o
a + b|a2n+1 + b2n+1 , decorre das igualdades acima e da
Propriedade (iv) que a + b|a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 .
Estabelecendo, assim, o resultado para todo n ∈ N.

Proposi¸ao

Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a +...
tracking img