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apítulo 02. Polinômios
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• Briot-Ruffini para o binômio ax + b (a  0, b  0 e a  1)
P(x) = (ax + b) · Q (x) + r
P(x) = a  · Q(x) + r
P(x) =  · aQ(x) + r
Fazendo Q1(x) = a · Q(x), temos:
P(x) =  · Q1(x) + r
Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para , obtemos Q1(x) e r, em que r também é o resto na divisão por (ax + b) e  · Q1(x) é o quociente na divisão por (ax + b)
ExemploDividir P(x) = 2x3 – 4x2 + 6x – 2 por (2x – 1).
ResoluçãoAssim:

  Exercícios Resolvidos01. Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = 2x4 +  4x3– 7x2+12 por D(x) = (x – 1). | | | | ResoluçãoAssim, temos:Quociente: Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1Resto: R(x) = 1102. Obter o quociente e o resto da divisão de 
P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por (x +2).ResoluçãoAssim, temos:Quociente: Q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24Resto: R(x) = – 4203. Qual o resto da divisão de P(x) = x40 – x – 1 por 
(x–1)?ResoluçãoR = P(1) = 140 – 1 – 1 = –104. (PUC-MG 2001) O polinômioP(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível por x – 1. Então, o valor de k é:a) –11b) –1/3c) 1/5d) 9ResoluçãoP(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2kP(x) divisível por (x – 1): P(1) = 014 – k · 13 + 5 · 12 +5 · 1 + 2k = 01– k + 5 + 5 + 2k = 0 k = –11Resposta: A |
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  | Capítulo 02. Polinômios | | 32 |
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LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS – CONCEITOS - GABARITO
1. Quais os valoresde A e B de forma que ?
Solução. Igualando os denominadores, temos:
.
Repare que o denominador do 1º membro foi fatorado em x2 – x = x(x - 1). Comparando os numeradores com as respectivas partes literais, vem:
Logo A = - 1 e B = 2.

2. Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo?
a. a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7-b)x
b. (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)
c. (a2+ 1)x3 – (a – 1)x2
d. (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a – 1)
e. a2x3 - (3 + b)x2 - 5x

Solução. Um polinômio é identicamente nulo se todos os coeficientes são nulos. Vamos analisar cada item.
a) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-se somente os termos em x2 e x. O termo com x3 terá coeficiente a2 = (1)2.
b) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-sesomente os termos em x2 e independente. O termo com x2 terá coeficiente (a + 1) = (1 + 1)2 = 4.
c) Não será identicamente nulo, pois, se a = 1 o termo em x3 será (a2 + 1) e não se anula.
d) Poderá ser identicamente nulo para a = 1 e b = - 3.
e) Não será identicamente nulo, pois o termo em “x” é diferente de zero e não se anula.

3. Dados os polinômios p, q e r de graus 2, 4 e5,respectivamente,é verdade que o grau
de p + q + r :

a. não pode ser determinados;
b. pode ser igual a 2;
c. pode ser igual a 4;
d. pode ser menor que 5;
e. é igual a 5;

Solução. No produto e na adição de polinômios vale a relação: gr(p.q) = gr(p) + gr(q); gr(p+q) < max{gr(p),gr(q)}. Logo, o grau da soma será o maior, logo p + q + r = 5.
4. Se os polinômios x2 – x + 4e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então calcule a + b.
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemos os polinômios e igualamos termo a termo.
Resposta: a + b = 1 + 3 = 4.
5. Se com x ≠ 0 e x ≠ -1, calcule o produto (A.B).
Solução. Igualando os denominadores, temos:
.
Comparando os numeradores com as respectivas partesliterais, vem:
Logo (A.B) = 0.

6. Que valores de a e b tornam os polinômios P1(x) = x2 – x – 6 e P2(x) = (x + a)2 – b idênticos?
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemos os polinômios e igualamos termo a termo.
Resposta: Os valores são: e .
7. Sendo f, g e h polinômios de graus 4 ,6 e 3, respectivamente, o grau de (f +...
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