Limites

NOÇÕES DE LIMITE
Propriedades dos Limites:
Suponhamos que duas funções f e g tenham limites em um ponto a. Então teremos que:
a) a função f + g tem limite em a e ;
b) a função f . g tem limite em a e ;
c) se , então a função tem limite em a e .
Para a demonstração deste Teorema precisamos formalizar uma outra propriedade que enunciamos na forma de um lema. Assim,
Lema: Se existe , então existem e M>0 tais que: se então .
Isso significa que, se f tem limite no ponto a, então f é limitadanuma vizinhança de a, ou seja, f é localmente limitada.
Esta demonstração também fornece uma idéia de como se trabalha formalmente com esse tipo de situação.
Exemplo:
1º)
Observemos que a função cujo limite queremos calcular é uma soma de três parcelas. Onde cada uma tem limite, ou seja: Usando o Teorema sobre as propriedades dos limites, temos que o limite da soma é a soma dos limites e portanto:
16-20+3=-1, comprovando o resultado acima.

2º)
Observemos que a função cujo limite queremos calcular é o quociente entre dois termos. Onde cada um deles tem limite, ou seja:

Usando o Teorema sobre as propriedades dos limites, temos que, uma vez que existem os limites do numerador e do denominador, sendo o segundo diferente de zero, existe o limite do quociente, sendo este igual ao quociente dos limites. O que comprova o resultado acima.
3º)
Observemos que a função cujo limite queremos calcular é constituída de duas parcelas. A segunda delas tem limite:

A primeira parcela é um quociente, sendo que o numerador tem limite:

e o denominador também tem limite: que é diferente de zero.
Assim sendo, podemos aplicar o Teorema sobre as propriedades dos limites e comprovar o resultado acima.

4º) O não existe. Para verificar esse fato basta observar o gráfico da função .

De fato, quando x tende a zero por valores maiores do que zero, seu inverso tende a . E quando x tende a zero por valores menores do