Matematica em finanças

M´todos Matem´ticos em Finan¸as e a c
Junho - Agosto 2003
Lista de Exerc´ ıcios Pr´ticos # 2B a Para ser entregue at´ o dia 11 de julho de 2003 `s 19:00. e a 1. Implemente um programa em matlab que calcule uma aproxima¸˜o da solu¸˜o ca ca u(t, x) da equa¸˜o do calor usando um m´todo expl´cito ca e ı   ut = uxx t ∈ [0, T ] e A ≤ x ≤ B u(t, A) = u(t, B) = 0 cond. de contorno (1)  u(0, x) = g(x) cond. inicial Para tornar mais f´cil a utiliza¸˜o do seu programa nos pr´ximos problemas, a ca o siga as seguintes diretivas: • A entrada do programa deve consistir dos argumentos T , A, B, α = (δτ )/(δx)2 , do n´mero Ntotal de pontos (em x) usados na discretiza¸˜o, u ca e do vetor G = [g(A : δx : B)]. • A saida deve consistir da solu¸˜o calculada em t = T ca • Comente e documente de forma apropriada seu programa para facilitar a leitura, corre¸˜o e re-utiliza¸˜o nos pr´ximos exerc´ ca ca o ıcios. • Tente tornar seu programa “a prova de erros grosseiros”e.g. testando para ver se T foi erroneamente escolhido negativo, ou se A > B. 2. Escreva o dia do mes que voce nasceu na forma mn (e.g. se voce nasceu no dia 27, escreva m = 2 e n = 7). Verifique o comportamento da sua solu¸˜o ca num´rica no intervalo [A, B] = [−π, π] para a fun¸˜o h(x) = cos((2n − 1)x) e ca e para a fun¸˜o h(x) = exp(−x2 /(2(m + 1)))/ 2π(m + 1) para os valores de ca α = 0.1, 0.5, 1. Descreva suas conclus˜es. o 3. O objetivo do pr´ximo exerc´ ´ obter o valor de uma op¸˜o europeia com o ıcio e ca uma fun¸˜o de pay-off h(P ) dada, e um tempo de vencimento τ . Para isso ca seguiremos a nota¸˜o do livro de Korn & Korn p´gina 109. ca a

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(a) Implemente uma subrotina que leva as vari´veis (C(t, P ), t, P ) da equa¸˜o a ca de Black & Scholes nas vari´veis que aparecem na equa¸˜o do calor (u(τ, x), τ, x). a ca Mantenha o restante das vari´veis como parˆmetros dentro da subrotia a na/fun¸˜o (ou se preferir coloque-as tambem como argumentos para a ca subrotina). (b) Implemente a transforma¸˜o inversa do item acima.