matematica basica - zumpano

UFMG, ZUMPANO

Disciplina: Matemática A
Professor: Antonio Zumpano Pereira dos Santos
Turma:
TAREFA 1

Questão 1

Uma empresa pretende construir uma nova sede, com estacionamento, em um terreno de 120 metros de comprimento e 100 metros de largura. O edifício, localizado no canto do terreno, terá 20 metros de altura e forma retangular com perímetro de 320 metros.

120 m

x
100 m y a) Expresse o volume V(x) do edifício em função do comprimento x de um dos lados do retângulo.

Altura do edifício: 20m
Perímetro do edifício: 320 m

A soma dos 4 lados é o perímetro com valor dado, chamando os lados do retângulo de x e y temos:
Explicitando y temos:

O volume é o produto de altura, largura e comprimento, a altura é 20 metros e largura y está em função de x. Para cada valor de x temos um volume dado pela equação:

Explicação e aplicações da formulas: As medidas de volume possuem grande importância nas situações envolvendo capacidades de sólidos. Podemos definir volume como o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de comportar alguma substância. Da mesma forma que trabalhamos com o metro linear (comprimento) e com o metro quadrado (comprimento x largura), associamos o metro cúbico a três dimensões: altura x comprimento x largura.·.

b) Faça um gráfico do volume calculado no item anterior e determine as dimensões do edifício de maior volume que atende às especificações.
O gráfico mostra um ponto máximo onde a inclinação da reta tangente é nula, e com a derivada primeira encontramos o ponto máximo da função.

O valor do comprimento x em que o volume é máximo é igual a 80 metros.

c) Suponha que a empresa tenha decidido construir o edifício de maior volume. Se o custo de construção é de R$75,00 reais por metro cúbico para o edifício e R$ 50,00 reais por metro quadrado para o estacionamento,