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Conceitos de Derivadas

CONCEITOS DE DERIVADA

Como visto em aulas anteriores, ao estudarmos o custo C para a produção de uma quantidade q de camisetas, estabelecemos o custo como função da quantidade produzida, ou seja, C = f(q). Vimos também que, para tal função, uma variação na quantidade de camisetas produzidas determinava uma variação correspondente nos custos de produção e assim pudemosobservar a relação entre quantidade produzida e seus respectivos custos de produção. Podemos definir, ainda, que a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, é data pela razão m = variação em C variação em q A taxa de variação média, representada por uma função do 1º grau, representa o coeficiente angular da reta querepresenta graficamente tal função. A equação de tal reta (ou função) é dada por y = f(x) = m.x + b. O conceito de taxa de variação média não é exclusivo das funções de 1º grau, ela pode ser calculada para qualquer função. Considerando y representando a variável dependente e x a variável dependente, a taxa de variação média de y em relação a x é calculada pela razão Taxa de variação média =variação em y = ∆y variação em x ∆x

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA EM UM INTERVALO Analisando a produção, como função do insumo disponibilizado no processo de produção e considerando que, para um grupo de operários em uma indústria de alimentos, a quantidade P de alimentos produzidos depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do expediente e que tal produção é dada por P = k . x2 e fazendok=1, temos: P = x2 Onde P é dada em toneladas.

Matemática Aplicada

José Carlos Saraiva

Conceitos de Derivadas Teremos a produção como função do tempo x, isto é, P = f(x), representando a produção como f(x) = x2 O instante do início do expediente é representado por x = 0, isto é, 0 horas de trabalho. Vamos determinar a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3:00horas até 4:00 horas e também para o intervalo das 4:00 horas até as 5:00 horas (ou seja, para 3 ≤ x ≤ 4 e para 4 ≤ x ≤5). Com base na definição dada anteriormente, podemos dizer que a taxa de variação média para esse exemplo será Taxa de variação média = variação em P = ∆P variação em x ∆x Para os intervalos de tempo acima, teremos Taxa de variação média = f(4) – f(3) = 42 - 32 = 16 – 9 = 5 ton/h def(x) para o intervalo 4–3 1 de 3 até 4 Taxa de variação média = f(5) – f(4) = 52 - 42 = 25 – 16 = 9 ton/h de f(x) para o intervalo 5–4 1 de 4 até 5 A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas, a tonelada é a unidade de medida da produção, então sua variação (∆P) também é medida em tonelada, enquanto que hora é unidade de medida do tempo, então sua variação (∆x) também émedida em hora, assim a taxa de variação média foi medida em tonelada/hora. Taxa de variação média = ∆P = tonelada = ton/h ∆x hora Com o passar do tempo, as taxas de variação médias da produção aumentam e, como a produção é crescente, concluímos que a produção é crescente a taxas crescentes. O fato de as taxas de variação serem crescentes é observado graficamente, o gráfico de tal função é uma parábolacom a concavidade voltada para cima. A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variável independente. Escrevendo de maneira geral um intervalo de a até b, a taxa de variação média será dada por Taxa de variação média = f(b) – f(a) de f(x) para o intervalo b–a de a até b Para essa forma de definir a taxa de variação média, podemos ainda considerar o “tamanho” do intervalo comosendo h, ou seja, b–a=h

Matemática Aplicada

José Carlos Saraiva

Conceitos de Derivadas As isolarmos b, obtemos

b=a+h

E o intervalo de a até b passa a ser de a até a + h. Com isso, podemos escrever a taxa de variação média como Taxa de variação média = f(a + h) – f(a) de f(x) para o intervalo h de a até a + h

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA O estudo da taxa de variação média em...
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