Macanismos e dinâmica Máquinas

SISTEMA MASSA – MOLA – AMORTECIDO –
FORÇADO

Mecanismos e Dinâmica de Máquinas
Marcio Luiz Moretti
03 de julho de 2014
Ministério
da Educação

SISTEMA MASSA – MOLA – AMORTECIDO – FORÇADO

ì Fo = 2 N ï ï m = 1Kg ï ï K = 1400 N / m ï ï c ïζ = ï cc
Considerando í ï x = 0, 02 m ï 0 ïv = 0, 05 m / s ï 0 ï ï F = a1cos (ω f t ) + a 2 sen (ω f t ) ï λt λt ï X h = a1e + a 2 e î Ministério da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

ìx (t) = aeλt ï ï
Forma da solução íx (t) = aλeλt ï ïx (t) = aλ²eλt î Ministério da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

m λ² + K = 0

Sistema massa - mola
Σ = ma mx = -Kx maλ2e λt + Kae λt = 0 ¸ (ae λt ) mλ² + K = 0

m λ² = - K
- K λ² = m - K λ = m K m λ = ± j λ = ω

n

ì ïωn = K ï m
Frequência natural í ï K ïωn ² = î m

=

K m Ministério da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA mλ² + c λ + k = 0 b ² - 4a c
2a
-c ± c ² - 4m k λ= 2m λ= -b ±

-c λ= ±
2m
æ cc ç ç 2m è æ c ç ç è 2m

ö 2 4 km
÷ ÷
4m ² ø ö2 K
÷ =
÷
m ø cc = 2m

ζ =

c cc c

ζ =
2m
ζ =

K m c
2ω nm

K m c c = 2 m ω n (am ortecim ento c rítico)

Ministério da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

å F = m.a mx - cx - Kx = 0 ¸ (m ) c K x+ x+ x=0 m m
2ωn c x+ x + ωn ² x = 0
2ωn m
Considerando que ζ =

c
:
2ωn m

x + 2ω n ζ x + ω n ² x = 0 aλ ²e λt + 2ωn ζaλe λt + ωn ²ae λt = 0 ¸ (ae λt ) λ ² + 2ωn ζλ + ωn ² = 0 ® equação característica homogênea de 2ª ordem
Ministério
da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA λ ² + 2 ω n ζλ + ω n ² = 0
- b ± b ² - 4 ac
2a
C onsiderando que a = 1, b = 2 ω n ζ e c = ω n ² : λ1,2 =

λ1,2 = λ1,2 -2ω n ζ ±

(2 ω ζ ) ² - 4 ω n n

²

2
- 2ω n ζ ± 4ω n ²ζ ² - 4ω n ²
=
2

λ1,2 = λ1,2 =

- 2 ω n ζ ± 4 ω n ² - (ζ ² - 1)
2
-2ω n ζ ± 2ω n
2

(ζ ² - 1)

sistem a super am ort ecid o

Ministério da Educação

SOLUÇÃO HOMOGÊNEA – SISTEMA SUBAMORTECIDO
S istem a criticam e nte am