M08 Aluno

Universidade Federal Fluminense
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Instituto de Matematica e Estat´ıstica
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Departamento de Matematica
Aplicada

C´alculo III-A – M´odulo 8
Aula 15 – Integral de Linha de Campo Vetorial
Objetivo
• Definir integrais de linha.
• Estudar algumas propriedades.

Integral de Linha de Campo Vetorial
Motiva¸c˜
ao
Considere uma part´ıcula que se move ao longo de uma curva C : γ(t) = x(t), y(t) , t ∈ [a, b], sob
→
−
→
−
→
− a a¸c˜ao de um campo de for¸cas F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j . Queremos calcular o trabalho
→
− realizado pela for¸ca F , quando a part´ıcula se desloca de A = γ(a) at´e B = γ(b).
→
−
Da f´ısica, temos, no caso em que F ´e constante e C ´e um segmento de reta, o trabalho dado pelo
→ −→
−
produto escalar W = F · AB.
No caso geral, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [ti−1 , ti ], i = 1, . . . , n, de mesmo comprimento ∆t = ti − ti−1 . Temos n subarcos γ [ti−1 , ti ] = Ci e n segmentos [Ai−1 , Ai ],
Ai = γ(ti ) = x(ti ), y(ti ) , com i = 1, . . . , n.
Ai

a = t0

Ai+1 ti−1 γ

ti

b = tn

→
−
Supondo que F constante ao longo do segmento [Ai−1 , Ai ], o trabalho ao longo de Ci ´e aproximadamente igual ao produto escalar
→
−
−−−−→ −
→
Wi ∼
= F γ(ti ) · Ai−1 Ai = F γ(ti ) · (Ai − Ai−1 ) = P x(ti ), y(ti ) ∆x + Q x(ti ), y(ti ) ∆y, onde ∆x = x(ti ) − x(ti−1 ) e ∆y = y(ti ) − y(ti−1 ).

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Calculo
III-A

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Modulo
8

2

Pelo Teorema do Valor M´edio, temos ∆x = x′ (t∗i ) ∆t, com t∗i ∈ ]ti−1 , ti [ e ∆y = y ′ (t∗∗ i ) ∆t,
∗∗
com ti ∈ ]ti−1 , ti [ . Logo,
∆t
Wi ∼
= P x(ti ), y(ti ) x′ t∗i + Q x(ti ), y(ti ) y ′ t∗∗ i portanto

n

W ∼
=

P x(ti ), y(ti ) x′ t∗i + Q x(ti ), y(ti ) y ′ t∗∗
∆t = Sn . i i=1

Assim, definimos W = lim Sn . Ent˜ao
∆t→0

b

P x(t), y(t) x′ (t) + Q x(t), y(t) y ′(t) dt .

W = a Esta motiva¸c˜ao sugere a defini¸c˜ao que se segue.
Defini¸c˜ao:
Seja C ⊂ R3 uma curva regular dada por uma parametriza¸c˜ao γ : [a, b] → R3 de classe C 1 , tal
→
− que γ ′ (t) = 0, para todo t ∈ a, b . Seja F = (P, Q, R) um campo vetorial cont´ınuo