Logica matematica

Tipos das Proposições, Implicações e Equivalências Lógicas

Tautologia, Contradição e Indeterminação

TAUTOLOGIA
Definição:Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor é sempre a verdade (V), para quaisquer valores lógicos das proposições simples componentes.
Exemplo:
P: É noite ou não é noite.
P: p v ~p
A tabela verdade é:
|p |~p |p v ~p |
|V |F |V |
|F |V |V |

Logo p v ~p é uma tautologia.

CONTRADIÇÃO
Definição: Uma proposição composta é uma contradição quando o seu valor é sempre a falso (F), para quaisquer valores lógicos das proposições simples componentes.
Exemplo:
P: É noite e não é noite.
P: p ^ ~p
A tabela verdade é:
|p |~p |p ^ ~p |
|V |F |F |
|F |V |F |

Logo p v ~p é uma contradição.
INDETERMINAÇÃO ou CONTINGÊNCIA
Definição: Uma proposição composta é indeterminada (ou contingente) quando não é uma tautologia e não é uma contradição.
Implicação Lógica
Definição: Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou relação de implicação) entre P e Q quando a proposição condicional P → Q é uma tautologia.
Notação: P ⇒ Q
Observação: Os símbolos ⇒ e → têm significados diferentes: O símbolo ⇒ entre duas proposições dadas indica uma relação, isto é, que a proposição condicional associada é uma tautologia, enquanto → realiza uma operação entre proposições dando origem a uma nova proposição p → q (que pode conter valores lógicos V ou F.
Exemplo: Mostrar que (p ^ q) ⇒ p
|p |q |p v p |(p ^ q) → p |
|V |V |V |V |
|V |F |F |V |
|F |V |F |V |
|F |F |F |V |

Como (p ^ q) → p é uma tautologia, então (p ^ q) ⇒ p, isto é, ocorre a implicação