Lista P1

Lista de Exerc´ıcios preparat´ oria para a 1a. Prova
1. Seja X1 , . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao gama com parˆametros α e β, isto ´e com fun¸ca˜o densidade dada por
−1 −x/β

xα e f (x; α, β) = α
1{x ≥ 0}, β Γ(α) onde Γ(α) =

∞
0

−1

xα e−x dx.

Encontre os estimadores pelo m´etodo de momentos dos parˆametros desconhecidos α e β.
2. Seja X1 , . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao uniforme em [0, 3θ].
(a) Encontre o estimador pelo m´etodo de momentos para θ.
(b) Encontre o EMV para θ.
3. Certo componente eletrˆonico tem uma vida u
´til (em horas) com a seguinte fun¸ca˜o de densidade f (x; θ) = e−(x−θ) 1{x > θ}, θ > 0
(a) Encontre o EMV para θ
(b) Suponha que trˆes desses componentes s˜ao testados independentemente, e possuem vidas uteis de 120, 130 e 128 horas, ache uma estimativa pontual de θ baseado nessas trˆes observa¸co˜es.
4. Sabemos que a probabilidade p de obter cara no lan¸camento de uma moeda viesada ´e 1/4 ou 3/4. Suponha que a moeda ´e lan¸cada duas vezes
1

e se observa um valor para X, o n´ umero de caras. Para cada poss´ıvel valor de X, qual dos valores de p (1/4 ou 3/4) maximiza a probabilidade de que X = x?. Baseado no valor de x realmente observado, qual ´e o
EMV de p?
5. Seja X1 , . . . , Xn de uma popula¸c˜ao cuja densidade ´e dada por
−1

αxα f (x; α, θ) =
1{0 ≤ x ≤ θ}, θα onde α > 0 ´e um valor fixo conhecido, mas o valor de θ se desconhece.
(a) Ache o EMV de θ
(b) Mostre que o EMV de θ ´e viesado para θ
(c) Ache um m´ ultiplo do EMV que seja n˜ao viesado para θ
(d) Ache o EQM do EMV.
6. Suponha Y tem uma distribui¸c˜ao binomial com parˆametros n e p, ent˜ao pˆ1 = Y /n ´e um estimador n˜ao viesado para p. Outro estimador de p ´e pˆ2 = (Y + 1)/(n + 2).
(a) Ache o vi´es de pˆ2 .
(b) Obtenha EQM(ˆ p1 ) e EQM(ˆ p2 ).
(c) Para que valores de p se satisfaz a desigualdade
EQM (ˆ p1 ) < EQM (ˆ p2 ).
7. Seja X1 , . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma popula¸c˜ao com distribui¸ca˜o uniforme em (0, θ), θ