Lista de exercicios

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DISCIPLINA: VARIÁVEIS COMPLEXAS
PROFa. MARIA ZITA C BRAGA
ALUNOS: JORGE RICARDO, LUCIANO SANTOS DE ASSIS
ATIVIDADE ONLINE 1
1. Determine os números complexos z=a+bi que têm o quadrado igual ao seu conjugado.

z2=z→a+bi2=a-bi→a2+2abi+b2i2=
a-bi→a2+2abi-b2=a-bi→a2-b2+2abi=a-bi→Desta forma temos o seguinte:

a2-b2=a2abi=-bi→2a=-1→a=-12-122-b2=-12→-b2=-12-14→-b2=-34→b=±34→b=±32
Veja as seguintes observações:
2ab=-b, b=0
Fazendo a substituição em a2-b2=a, temos a2=a, a=1 ou a=0
Após as substituições teremos:
z=-12+32i
z=12-32i
z=0 u z=1

2. Determine o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que:
a) z+1zé real. Verificando quez=x+yi, temos:z+1z=x+yi+1x+yi→x+yi+x-yix+yix-yi=x+yi+x-yix2-y2i2=x+yi+x-yix2+y2
=x+yix2+y2+x-yix2+y2=x3+xy2+x2yi+y3i+x-yix2+y2=
=x3+xy2+xx2+y2+x2y+y3-yix2+y2

Veja a seguinte observação:
x2y+y3-yx2+y2=0→x2y+y3-y=0→yx2+y2-1=0
y=0
x2+y2-1=0

b) 1+z=21-z
Se x∈C1+z=21-z
Seja z=x+iy. Então, z∈S se, e somente se
1+x+iy=21-x+iy
1+x+iy=21-x-iy
x+12+y2=2-x+12-y2
x+12+y22=2-x+12-y22x+12+y2=4x+12+y2
x2+2x+1+y2=4x2-8x+4+4y2
-3x2-3y2+10x=3
-3x2-3y2+10x-3=0
Para x=0, vemos o seguinte:
-3y2-3=0→-3y2=3→y2=-33→y2=-1→y=±-1→y=±i
Para y=0, vemos o seguinte:
-3x2+10x-3=0→∆=102-4∙-3-3→∆=64
x'=-10+642∙-3
x'=-10+8-6→x'=-2-6=13
x''=-10-642∙-3
x''=-10-8-6→x''=-18-6=3
Dessa forma:

z1=13+i z2=13-i z3=3+i z4=3-i

3. Para n inteiro, determine (justificando) quais os valores da expressãoin+i-n

Considerando n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9… então:

Para n=0
in+i-n=in+1in=i0+1i0=1+11=2
Para n=1
in+i-n=in+1in=i1+1i1=i+1i=i2+1i=-1+1i=oi=0
Para n=2
in+i-n=in+1in=i2+1i2=-1+1-1=-1-1=-2
Para n=3
in+i-n=in+1in=i3+1i3=i2∙i+1i2∙i=-i+1-i=-1+1-i=o-i=0

Verificamos na resolução acima que para n inteiro, os valores da expressão in+i-n seguem uma seqüência lógica 2,0,-2,0.

4. Calcule asraízes quartas de 16 e represente geometricamente estas raízes no plano complexo.

416 z=16 a=16 e b=0
p=a2+b2→p=162+02→p=162→p=16
cosθ=1616→cosθ=1 e senθ=016→senθ=0
Assim sendo, θ=0°
z=16cosθ+isenθ
Rk=npcosθ+2kπn+isenθ+2kπn
Calculando a raiz quarta, temos: k=0, k=1, k=2 e k=3
Para k=0
R0=416cos0°+2∙0∙π4+i∙sen0°+2∙0∙π4→R0=2cos0°+i∙sen0°
R0=21+0i→R0=2+0i
Para k=1R1=2cos0°+2∙1∙180°4+i∙sen0°+2∙1∙180°4→R1=2cos90°+i∙sen90°
R1=20+1i→R1=0+2i
Para k=2
R2=2cos0°+2∙2∙180°4+i∙sen0°+2∙2∙180°4→R2=2cos180°+i∙sen180°
R2=2-1+0i→R2=-2+0i
Para k=3
R3=2cos0°+2∙3∙180°4+i∙sen0°+2∙3∙180°4→R3=2cos270°+i∙sen270°
R3=20-1i→R3=0-2i

5. Determine os complexos z sabendo que z=1-z=1z.
Sabemos que z=a+bi
a) z=a2+b2
b) 1-a+bi=1-a-bi=1-a2+-b2
c) 1z=1z=1a2+b2
Vejamos...a=c→a2+b2=1a2+b2→a2+b2a2+b2=1→a2+b2=1
a=b→a2+b2=1-a2+-b2=12=1-a2+-b22=
1=1-a2+-b2→1=1-2a+a2+b2=1→-2a+1-1+1=0→2a=1→a=12
Como a2+b2=1, temos que a:
122+b2=1→14+b2=1→b2=1-14→b2=34→b=±32→b=±32
Logo, z=12+32i
z=12-32i

6. Determine a parte real Ux, y e a parte imaginária Vx, ydas funções abaixo:

a) fz=zz
Resolvendo z=x+iy,vejamos:
fz=zz→fx+iy=x-iy∙x-iyx+iy∙x-iy=x2-2iy+i2y2x2-i2y2=x2-2iy-y2x2+y2
=x2-y2x2+y2-2yix2+y2
Aparte real fica Ux, y=x2-y2x2+y2
A parte imaginária fica Vx, y=-2yx2+y2

b) gz=cosz=eiz+e-iz2
Vejamos...

cosz=ex+iy+e-x-iy2=ex∙eiy-e-x∙e-iy2=ex∙-seny+icosy∙e-x∙-seny-icosy2
=ex-e-x2-seny+iex-e-x2cosy=-senhx∙cosy+icoshx∙-seny
Parte real fica Ux,y=-senhx∙cosy
Parte imaginária fica Vx,y=-coshx∙seny
7. a) Determine (justificando sua resposta) a equação de menor grau que tem z1=i e z2=1+2icomo raízes.
px=an=x-x1x-x2…x-xn
px=x-ix-1+2i=x-ix-1-2i=
px=x2-x-2xi-xi+i+2i2
px=x2-x-3xi+i-2(equação de menor grau)

b) Determine (justificando) a equação de menor grau com coeficientes reais que tem z1=i e z2=1+2i como raízes.

Toda equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o número complexo a+bi, com b diferente de 0, então o complexo a-bi também é...
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