limites

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Professor Mauricio Lutz

LIMITES DE FUNÇÕES
1) Introdução
O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo da Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a
Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.

2) Noção intuitiva de limites
Vamos analisar alguns casos em que aparece a idéia informal e intuitiva de limite.
Exemplos:
a)Vamos considerar una região quadrada de área igual a 1.
Num primeiro momento vamos colorir a metade do quadrado.
Parte colorida:

1 da figura.
2
No momento seguinte, colorimos metade da região e mais metade do que restou:
Parte colorida:

1 1 3
+ = da figura.
2 4 4
No próximo , colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que restou: Parte colorida:

1 1 1 7
+ + = da figura.
2 4 8 8
E assim, sucessivamente e indefinidamente, a área da região colorida resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento, quando o número de momentos tende ao infinito, é colorir a figura toda, ou seja, obter uma área colorida igual a 1.

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Professor Mauricio Lutz

b) Seja a função f ( x) = 2 x + 1 . Vamos dar valores de x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
Pela direita

x

Pela esquerda

y = 2x + 1

x

y = 2x + 1

4
3,6
3,2
3,1
3,04
3,02

0,5
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99

2
2,4
2,8
2,9
2,96
2,98

1,5
1,3
1,1
1,05
1,02
1,01

Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x ® 1 ), y tende para 3 ( y ® 3 ), ou seja: lim(2 x + 1) = 3 x ®1

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.