Limites

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Etapa Nº 1
A HISTÓRIA DOS LIMITES



Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 einício do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.
A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distânciafinita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.Já Arquimedes (287--212 a.C.) para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agorachamamos de limites.
Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704). Já René deSluse (1622--1685) inventou um método ainda mais complicado para obterem tangentes à curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi.
No século XIX, Augustin Louis Cauchy estava procurando uma exposição rigorosamente correta do Cálculo para apresentar a seus estudantes de engenharia na École Polytechnique de Paris. Conforme nos relata KAPLAN(1972); Entre 1840 e 1850, enquanto era professor da High School, Karl Weierstrass determinou que a primeira etapa para corrigir esses erros deveria começar pela definição de limite de Cauchy em termos aritméticos estritos, usando-se somente valores absolutos e desigualdades.O Cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton eGottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física clássica e até a física moderna. Então podemos dizer que o Cálculo, e dentro desta disciplina, os limites foram desenvolvidos por vários matemáticos ao mesmo tempo, não podendo atribuir-lhe uma única paternidade.

CONCEITO DE LIMITE

Em matemática, o conceito delimite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente a) e seja A um número real.
A expressão significa que qualquer que seja existe tal que para todo x, satisfazendo , vale ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente...
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