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2.3 – PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES Vimos que existem diversos métodos para se encontrar estimadores para um parâmetro desconhecido, como o método dos momentos e o de máxima verossimilhança. Alguns desses métodos resultam em estimadores diferentes. Como, então, escolher o “melhor” estimador? Como compará-los? Iremos definir certas propriedades que o estimador deve possuir ou não, que nos iráajudar a decidir se um estimador é melhor que o outro. Suponha que se tenha 4 estimadores do parâmetro θ, A, B, C e D, e que, para cada um, tenha se retirado várias amostras e calculado os estimadores em cada amostra. A: Estimador preciso e não viciado B: Estimador não preciso e não viciado

A: Estimador preciso e não viciado
1

B: Estimador não preciso e não viciado
1

θ
0

θ

0

0

12

3

4

5


E ˆ θ
C: Estimador preciso e viciado
1

()

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5


E ˆ θ

()

6

7

8

9

10

D: Estimador não preciso e viciado
1

θ

θ
0

0

0

1

2

3

4

5

6

E ˆ θ



7

()

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7


E ˆ θ

()

8

9

10

O estimador Aé o que parece ter as melhores características. propriedades desejáveis para os estimadores.

Vamos, então, definir estas

Eˆ θ

()

θ

θ

Eˆ θ

()

2.3.1 – ESTIMADOR NÃO VIESADO (TENDÊNCIA OU VÍCIO OU VIÉS DE UM ESTIMADOR) Definição 1: Suponha uma amostra aleatória X1,...,Xn de uma densidade (ou função de probabilidade) que depende do parâmetro desconhecido θ. O estimador T = g( X) de uma função do parâmetro θ, τ(θ), é não
~

C: Estimador preciso e viciado

D: Estimador não preciso e viciado

viciado (ou não viesado, ou não tendencioso) se E(T) = τ(θ) para todo θ ∈ Θ. A diferença B(T) = E(T) – τ(θ) é chamada de vício. Se B(T) ≠ 0, T é um estimador viciado. O vício tem a ver com a distribuição dos estimadores calculados em um número muito grande de amostrasindependentes. Nos estimadores não viesados, o centro desta distribuição é τ(θ), a função do parâmetro θ que se quer estimar. OBS: Às vezes, encontramos um estimador T viciado para τ(θ), mas tal que E(T) = c τ(θ), ou seja, a esperança de T é proporcional a τ(θ). Quando acontece isso, podemos “corrigir” o estimador tal que ele se torne não viciado: se E(T) = c τ(θ), E(T/c) = τ(θ).

Eˆ θ

()

θ

Eˆ θ()

2.3.2 – ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) Quando encontramos vários estimadores de τ(θ), sendo que nem todos eles são não viciados, como escolher um entre eles? Definição 2: Seja X1,...,Xn uma amostra aleatória de X, cuja distribuição depende de um parâmetro desconhecido θ, e seja T= g( X ) um estimador de τ(θ), função apenas dos elementos da amostra. Então, o Erro
~

θ

Quadrático Médio(EQM) de T é definido por EQM(T) = E(T-τ(θ))2. Note que: EQM(T) = E(T-τ(θ))2 = E(T - τ(θ) + E(T) – E(T))2 = E((T- E(T)) – (τ(θ) – E(T)))2 = E((T- E(T))2 + (τ(θ) – E(T))2-2(T- E(T))( τ(θ) – E(T))) = E(T- E(T))2+ E(τ(θ) – E(T))2 -2(τ(θ) – E(T))E(T- E(T)) = E(T- E(T))2+ E(τ(θ) – E(T))2 = = E(T- E(T))2+ (τ(θ) – E(T))2 = Var(T) + (B(T))2 OBS: Quando T é não viciado para τ(θ), EQM(T) = Var(T). B(T) podeser positivo, negativo ou zero. O EQM é a soma de duas quantidades não negativas. Definição 3: Dizemos que T é assintoticamente não viciado para θ se lim E(T ) = τ(θ) (ou lim B(T ) = 0).
n →∞ n →∞

Outra maneira de representarmos isto é:

Quando temos estimadores viciados e não viciados, comparamos os estimadores usando seus EQMs. O EQM é um bom critério de comparação entre 2 estimadores,pois leva em conta tanto a variância quanto o vício do estimador. Se temos 2 estimadores de τ(θ), T1 e T2, com os respectivos EQMs, EQM(T1) e EQM(T2), chamamos de EFICIÊNCIA RELATIVA a razão Ef= eficiente do que T2.

EQM(T2 )

EQM(T1 )

. Se esta razão for menor do que 1, T1 é mais

1

2

Sabe-se que, para estimadores não viciados, EQM(T) = Var(T). Assim, quando temos 2 estimadores...
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