Integrais Triplas Muito Bom

Capítulo 10

INTEGRAÇÃO TRIPLA
10.1

Integração Tripla sobre Paralelepípedos

Este capítulo é totalmente análogo ao anterior.
Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por R = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a função limitada w = f (x, y, z) definida em R. Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d] e [p, q]: a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d p = z0 < z1 < ...... . . . . . . < zn = q.
Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos Rijk = [xi , xi+1 ]×[yj , yj+1 ]×[zk , zk+1 ]. q R p c

d

a b Figura 10.1: Subdivisão de R. d−c q−p b−a , ∆y =
, ∆z =
. Escolhamos cijk ∈ Rijk e
Denotemos por ∆x = n n n formemos a seguinte soma de Riemann: n−1 n−1 n−1

f (cijk )∆x ∆y ∆z.

Sn = i=0 j=0 k=0

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CAPÍTULO 10. INTEGRAÇÃO TRIPLA

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Definição 10.1. Se lim Sn existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk e da n→+∞ partição, denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos por: f (x, y, z) dx dy dz

lim Sn =

n→+∞

R

Em tal caso f é dita integrável sobre R.
Teorema 10.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.
Para a prova do teorema veja [EL].
No capítulo anterior vimos que se: f : [a, b] × [c, d] −→ R, f (x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], a integral dupla: f (x, y) dx dy
R

representa o volume do sólido:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois o gráfico de f é um subconjunto de R4 o qual não é possível visualizar.
Mas se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R: dx dy dz
R

representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma de Riemann correspondente: n−1 n−1 n−1

Sn =

∆x ∆y ∆z i=0 j=0 k=0

é a soma dos volumes dos n3 sub-paralelepípedos formado pela partição; então, lim Sn é exatamente o volume de R. n→+∞ A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas.
Proposição 10.1. Seja x =