Integrais cvff

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INTEGRAIS DUPLAS
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) ∈IR2| a < x < b, c < y< d } y d R

c a b x

e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

z S

y

R

x

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) ∈IR3| (x,y) ∈ R, 0 < z < f(x,y)} Nosso objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos.Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento ∆x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento ∆y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j }cada um dos quais com área ∆A = ∆x∆y. y R
d
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Rij

∆y

yj yj-1


• •

(xij , yij)

y2 y1 c a x1

x2

xi-1 ∆x

xi

b

x

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ouum prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: Vij = f(xij , yij)∆A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: V≈

∑ ∑ f (x ij , y ij )∆A
i =1 j=1

n

m

Essa dupla soma significa que, para cadasub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

z

f (xij , yij )

S Vij

y

R



(xij , yij )

x
Nossa intuição diz que a aproximação V ≈

∑ ∑ f ( x ij , y ij )∆A melhora quando
i =1 j=1

n

m

aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:V = lim

∑ ∑ f ( x ij , y ij )∆A . m, n →∞
i =1 j=1

n

m

Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é

∫∫ f (x, y)dA = lim
R

∑ ∑ f ( x ij , y ij )∆A m , n →∞
i =1 j=1

nm

se esse limite existir. Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é V = ∫∫ f ( x , y)dA .
R

A soma

∑ ∑ f (x ij , y ij )∆A é chamada soma dupla de Riemann e é usada como
i =1 j=1

n

m

aproximação do valor da integral dupla.Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij. y (1,2) 2
R12 R22 (1,1) R21

(2,2)

1
R11

(2,1)

0

1

2

x

Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima ea área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos: V≈∑
i =1 2

∑ f ( x ij , y ij )∆A = f(1,1)∆A + f(1,2) ∆A + f(2,1) ∆A + f(2,2) ∆A
j=1

2

= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo:

Obtemos melhor aproximação do volume quando...
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