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Capítulo 8 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica. A transformada de Laplace de uma função f é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma:
β

Y (s) =
α

K(s, t) f (t) dt.

(8.1)

A função K(s, t) é chamada de núcleo datransformada. Para definir a transformada de Laplace, precisaremos da noção de integral imprópria. Veja [L]. Definição 30. Seja f : [0, +∞) −→ R. A transformada de Laplace da função f (t) é denotada e definida por:


F (s) = L{f (t)} =
0

e−st f (t) dt,

se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s. No caso da transformada de Laplace, o núcleo da transformada é e−st . Exemplo94. f (t) = 1, t ≥ 0 Aplicamos a definição:
∞ A

F (s) = L{1} =
0

e−st dt = lim

A→∞

e−st dt = lim
0

A→∞



1 e−sA 1 = , + s s s

se s > 0. Exemplo 95. f (t) = ekt , t ≥ 0

209

Aplicamos a definição:
∞ ∞

F (s) = L{ekt} =
0 A

e−st ekt dt =
0 (k−s)t

e(k−s)t dt e(k−s)A 1 − − k−s k−s

= lim = se s > k.

A→∞

e
0

dt = lim

A→∞

1 , s−k

Exemplo 96.f (t) = t3 , t ≥ 0 Aplicando a definição:
∞ A

F (s) = L{t3 } =
0

e−st t3 dt = lim

A→∞

e−st t3 dt
0

e−sA A3 3e−sA A2 6e−sA A 6e−sA 6 6 = lim − − − − + 4 = 4, 2 3 4 A→∞ s s s s s s se s > 0. Exemplo 97. f (t) = 0 se 0 ≤ t < 5 5 se 5 ≤ t
∞ A

F (s) = L{f (t)} =
0

e −

−st

f (t)dt = lim = 5e s
−5s

A→∞

5 e−st dt
5

= 5 lim

e

−5s

e

−sA

A→∞

s

s,

se s > 0. Como a transformada de Laplace envolve integração, é natural que a transformada herede propriedades da integral. Uma destas propriedades é a linearidade. Sejam f e g duas funções cujas transformada de Laplace existem para s > a1 e s > a2 , respectivamente. Então, para s > max{a1 , a2 }, então:


L{αf (t) + βg(t)} =
0

e−st αf (t) + βg(t) dt
∞ ∞


0

e−st f (t) + β0

e−st g(t)dt para todo α, β ∈ R.

= α L{f (t)} + β L{g(t)}, Acabamos de provar o seguinte teorema:

210

Teorema 13. Se α e β são constantes, então L{α f (t) + β g(t)} = α L{f (t)} + β L{g(t)} para todo s tal que as transformadas tanto de f quanto de g existam. O resultado acima permitem que calculemos a transformada de algumas funções a partir de outras transformadas já conhecidas.Exemplo 98. Calcule L(5 + 8 t3 ) se t ≥ 0. Como L(1) = 1 6 e L(t3 ) = 4 ; aplicando o teorema: s s L(5 + 8 t3 ) = 5 L(1) − 8 L(t3) = se s > 0. Exemplo 99. Calcule L(cosh kx) e L(sinh kx) se t ≥ 0. Como cosh kx = ekx + e−kx 1 e L(ekx ) = , se s > k; aplicando o teorema: 2 s−k L(cosh kx) = 1 s 1 L(ekx ) + L(e−kx ) = 2 , 2 2 s − k2 1 , se s > k. s2 − k 2 5 48 − 4, s s

se s > k. Analogamente L(sinhkx) =

8.1 Funções de ordem exponencial
Agora, desejamos saber que tipo de funções possuim transformadas de Laplace. Definição 31. Uma função f é contínua por partes em um intervalo [α, β] se o intervalo puder ser particionado em um número finito de subintervalos (ti , ti+1 ), tais que 1. f é contínua em cada subintervalo aberto (ti , ti+1 ) 2. São finitos os limites laterais:
t→t+ i

α = t0
lim f (t)

e

t→t− i+1

lim f (t),

0 ≤ i ≤ n − 1,

existem

211

Exemplo 100. Consideremos f (t) = 0, para t < 2 1, para t ≥ 2

A função f é contínua por partes em R, pois f é contínua nos subintervalos (−∞, 2) e (2, +∞) lim f (t) = 0. lim f (t) = 1, − +
t→2 t→2

Exemplo 101. A função f (t) = não é contínua por partes em [0, 4] pois
t→1±

t+1 t−1lim f (t) = ±∞.

Definição 32. Uma função f é de ordem exponencial em [0, ∞) se existem constantes C > 0 e k, tais que |f (t)| ≤ C ekt , para todo t ∈ (0, ∞) ∩ Domf . Exemplo 102. A função f (t) = cos 2t é de ordem exponencial em [0, ∞), pois para C = 1 e k = 0, |f (t)| = | cos 2t| ≤ C ekt = 1, ∀t > 0 Para a classe da funções que são contínuas por partes e de ordem exponencial, a transformada de...
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