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Capítulo 8 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica. A transformada de Laplace de uma função f é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma: β Y (s) = α K(s, t) f (t) dt.

(8.1)

A função K(s, t) é chamada de núcleo da transformada. Para definir a transformada de Laplace, precisaremos da noção de integral imprópria. Veja [L]. Definição 30. Seja f : [0, +∞) −→ R. A transformada de Laplace da função f (t) é denotada e definida por:
∞

F (s) = L{f (t)} =
0

e−st f (t) dt,

se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s. No caso da transformada de Laplace, o núcleo da transformada é e−st . Exemplo 94. f (t) = 1, t ≥ 0 Aplicamos a definição:
∞ A

F (s) = L{1} =
0

e−st dt = lim

A→∞

e−st dt = lim
0

A→∞

−

1 e−sA 1 = , + s s s

se s > 0. Exemplo 95. f (t) = ekt , t ≥ 0

209

Aplicamos a definição:
∞ ∞

F (s) = L{ekt} =
0 A

e−st ekt dt =
0 (k−s)t

e(k−s)t dt e(k−s)A 1 − − k−s k−s

= lim = se s > k.

A→∞

e
0

dt = lim

A→∞

1 , s−k

Exemplo 96. f (t) = t3 , t ≥ 0 Aplicando a definição:
∞ A

F (s) = L{t3 } =
0

e−st t3 dt = lim

A→∞

e−st t3 dt
0

e−sA A3 3e−sA A2 6e−sA A 6e−sA 6 6 = lim − − − − + 4 = 4, 2 3 4 A→∞ s s s s s s se s > 0. Exemplo 97. f (t) = 0 se 0 ≤ t < 5 5 se 5 ≤ t
∞ A

F (s) = L{f (t)} =
0

e −

−st

f (t)dt = lim = 5e s
−5s

A→∞

5 e−st dt
5

= 5 lim

e

−5s

e

−sA

A→∞

s

s

,

se s > 0. Como a transformada de Laplace envolve integração, é natural que a transformada herede propriedades da integral. Uma destas propriedades é a linearidade. Sejam f e g duas funções cujas transformada de Laplace existem para s > a1 e s > a2 , respectivamente. Então, para s > max{a1 , a2 }, então:
∞

L{αf (t) + βg(t)} =
0

e−st αf (t) + βg(t) dt
∞ ∞

=α
0

e−st f (t) + β