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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

4113E-04 Equações Diferenciais
4113U-04 Equações Diferenciais paraEngenharia Química
Trajetórias Ortogonais

1. Equações Diferenciais de uma Família de Curvas
Na discussão que segue, estamos interessados em encontrar a equação diferencial [pic]sabendoque sua solução geral é a família de curvas [pic] conhecida.
Por exemplo, encontre a equação diferencial da família [pic] .

2. Definição: Curvas Ortogonais
Duas curvas [pic] são ortogonaisem um ponto se, e somente se, suas retas tangentes T1 e T2 são perpendiculares no ponto de interseção. Exceto no caso em que T1 e T2 são paralelas aos eixos coordenados, queremos dizer que oscoeficientes angulares m1 e m2 das retas tangentes T1 e T2 são negativos inversos um do outro (m1.m2 = -1).


Exemplo 1: Mostre que as curvas definidas por [pic] são ortogonais no(s) ponto(s) deinterseção.


Exemplo 2: Mostre que qualquer curva da família [pic] , C [pic]é ortogonal a cada curva da família [pic].

1.3 Definição: Trajetórias ortogonais
Quando todas as curvas de umafamília [pic] interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família [pic], então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra.
Portanto, uma trajetória ortogonal é uma curva queintercepta toda a curva de uma família em um ângulo reto.

Trajetórias ortogonais ocorrem na construção de mapas meteorológicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por exemplo, em um campoelétrico em volta de dois corpos de cargas opostas, as linhas de força são perpendiculares às curvas eqüipotenciais.

1.4 Método de Cálculo
Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma da família decurvas, primeiro encontramos a equação diferencial [pic] que tem como solução geral essa família conhecida. A equação diferencial da família ortogonal é então [pic]. Resolvendo essa última equação...
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