Historia do pi

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• Começaremos supondo que [pic] é racional.

• Considerando o número [pic] racional, usaremos ele numa função e sua integral dará como resultado INTEIRO E POSITIVO.

• Usaremos a mesmaintegral, faremos alguns “ajustes” e a mesma dará MENOR QUE UM.

Como uma integral é INTEIRA E POSITIVA e MENOR QUE UM ao mesmo tempo?


Isso é um absurdo!


Introdução

Inicialmente considere oteorema:
“Se k é racional então k² é racional”.

Sua contraposição:
“Se k² é irracional então k é irracional”.

Como o teorema é verdadeiro sua contraposição também é verdadeira.

Partiremos dacontraposição para provar que o [pic] é irracional.

Assim mostraremos que [pic]² é irracional.
Uma consequência desse fato é que [pic] é irracional.


Consideremos as funções:E assim, sucessivamente até:









1. Dada a função mostre que

Demonstração:









2. Dada a função ,mostrar que: Se então

















Ao compararmos as duas frações abaixo, concluímos que as frações possuem o mesmo denominador, logo Fn é menor, pois o numeradorcomo demonstrado, é menor do que 1.





Exemplo numérico











Das funções que apresentamos no início, calculando as derivadas de , temos:PODEMOS OBSERVAR QUE

Para qualquer , calculando todas as derivadas dessa função e substituindo o ZERO obtemos ZERO como resultados em todas as derivadas antes n e depois de2n;

Entre a derivada de ordem n e a derivada de ordem 2n, os resultados são sempre inteiros.

O mesmo ocorre se substituirmos x por 1.

Exemplos:

Substituindo 0 em todas as derivadasobtemos resultado 0 até a derivada segunda e após a derivada Sexta.
Entre a derivada terceira e a derivada sexta, obtemos números inteiros.

OBSERVE:












Substituindo 1 em...
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