Hiperistatica

Método das Forças
Exemplos de Aplicação em Vigas

Método das Forças

Vigas

EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.

Figura 1 – Viga contínua

Figura 2 – Estrutura isostática fundamental

Propriedades geométricas da seção
I AB = 0,20 ⋅ (0,70) 3 12 ⇒ I AB = 5,71667 ⋅10 −3 m 4

I BC =

0,20 ⋅ (0,50) 3 12 I AB = 2,744 ⋅ I BC

⇒ ⇒

I BC = 2,08333 ⋅ 10 −3 m 4 I AB = 2,744 ⋅ I

Módulo de elasticidade constante: E = constante

Fase L

Figura 3 – Fase L

3

Método das Forças

Vigas

Figura 4 – Diagrama de momento fletor – Fase L

DQL1 =

M L m1 dx M m dx +∫ L 1 EI EI AB BC

∫

20 ⋅ (8) 3 20 ⋅ (5) 3 48 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ (5 + 2) + + 24 ⋅ E ⋅ (2,744 ⋅ I ) 24 ⋅ EI 6 ⋅ 5 ⋅ EI 155,49 104,167 67,20 326,857 DQL1 = + + ⇒ DQL1 = EI EI EI EI DQL1 =

Fase 1

Figura 5 – Fase 1

Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Fase 1
(m1 ) 2 dx (m ) 2 dx +∫ 1 ∫ EI BC EI AB 1⋅ 8 1⋅ 5 F11 = + 3 ⋅ E ⋅ (2,744 ⋅ I ) 3 ⋅ EI

F11 =

⇒

F11 =

2,6385 EI

4

Método das Forças

Vigas

Cálculo da redundante
D QL + F Q = D Q ⇒ D QL1 + F11Q1 = D Q1 = 0
⇒ Q1 = − 123,88 kNm

326,857 2,6385 ⋅ Q1 + =0 EI EI

Cálculo dos esforços nas barras
8 ⋅VA − 20 ⋅ (8) 2 + 123,88 = 0 2 20 ⋅ (8) 2 8 ⋅ VBE − − 123,88 = 0 2 20 ⋅ (5) 2 − 48 ⋅ 2 − 123,88 = 0 5 ⋅ VBD − 2 20 ⋅ (5) 2 5 ⋅ VC − − 48 ⋅ 3 + 123,88 = 0 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ V A = 64,52 kN VBE = 95,49 kN V BD = 93,98 kN V VCA = 54,02 kN

Pontos de cortante nulo Vão AB

64,52 − 20 ⋅ X AB = 0 Vão BC

⇒

X AB = 3,23 m

VMD = − 54,02 + 20 ⋅ 2 = − 14,02 kN VME = − 54,02 + 20 ⋅ 2 + 48 = 33,98 kN (Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto M) Pontos de momento máximo Vão AB M MÁX = 3,23 ⋅ 64,52 − Vão BC (sob o ponto M) M MÁX = 54,02 ⋅ 2 − 20 ⋅ (2) 2 2 ⇒ M MÁX = 68,05 kNm 20 ⋅ (3,23) 2 2 ⇒ M MÁX =104,05 kNm

5