Guia MMF

EDPs em Finan¸as c GUIA DE ESTUDOS P/ PROVA FINAL

Jan - Fev 2013

1. Rever todas as listas de exercicios e em particular as listas 4, 5, e 6.
2. Teo. de Radon-Nikodym. (enunciado, aplica¸˜es, bem como contra-exemplos quando co as hip´tese dos mesmos falham). o 3. Mostrar a unicidade do valor esperado usando o Teo. de Radon-Nikodym.
4. Seja Ht um processo no espa¸o H0 conforme definido em aula. Verificar a partir da c t defini¸˜o de integral de Itˆ que It (H) : 0 Hs dBs satisfaz as propriedades de: ca o
(a) Linearidade
(b) Martingal cont´ ınuo (em rela¸˜o a que filtro?) ca (c) E[It (H)] = 0
(d) Isometria de Itˆ o 5. Seja (Ω, F, P) espa¸o de probabilidade e suponha que a vari´vel aleat´ria Y : Ω → R ´ c a o e simples, ou seja, toma um conjunto finito de valores distintos a1 , · · · , an de valores em
A1 , · · · , An disjuntos, respectivamente. Mostre que a σ-algebra gerada por Y coincide com aquela gerada por {A1 , · · · , An }.
6. Dentro do contexto problema anterior, mostre que se definirmos
Z(ω) =

1
P(Ai )

XdP

se ω ∈ Ai

Ai

ent˜o ela satisfaz as duas propriedades que definem a esperan¸a condicional, a saber a c
• E(X|Y ) ´ σ(Y )-mensur´vel. e a
•

A XdP

=

A E(X|Y

)dP para todo A ∈ σ(Y ).

7. Seja {Wt }t≥0 um movimento Browniano unidimensional e para t > 0 defina
P (x ≤ Wt ≤ x + ∆x)
∆x→0
∆x

u(x, t) = lim

Mostre que u(x, t) satisfaz a equa¸˜o do calor ca 1 2
∂t u = ∂x u .
2
1

8. Diga se ´ verdadeiro ou falso (com justificativa ou contra-exemplo): e (a) O processo de Itˆ o 1
St = S0 exp((µ − σ 2 )t + σWt )
2
´ um martingal com rela¸˜o ao filtro Browniano s.s.s. µ = 0. e ca
(b) Se Xt e Yt s˜o idˆnticos em lei ent˜o eles s˜o indistingu´ a e a a ıveis .
(c) Se Xt e Yt s˜o modifica¸˜es um do outro, ent˜o eles s˜o indistingu´ a co a a ıveis. (d) Para t ≥ 0 vale que E[Wt exp Wt ] = t exp t/2.
(e) Seja tW1/t , t > 0
0 , t = 0.

Zt =

Ent˜o {Zt }t≥0 n˜o ´ um martingal em