Graduação

Disciplina: Cálculo Integral e Diferencial 1

Otimização

1) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter o volume de 10m3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $10 por metro quadrado. O material para os lados custa $6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêiner.

Solução:
Compreendendo o problema:
a) O que é desconhecido?
R: Altura do contêiner.

b) Quais as quantidades dadas?
R: Largura e comprimento.

c) Quais as condições dadas?
R: Largura é o dobro do comprimento.

Diagrama:

Notação h – altura do contêiner a – uma unidade de comprimento

Já temos definido que o volume total do contêiner é de 10m3. Portanto, sabemos que 10 = 2a.a.h assim:
10 = 2a.a.h
10 = 2a2.h a2.h = 5 h = 5/a2
Portanto h = 5/a2, é a altura do recipiente. Agora devemos calcular o custo para construir o contêiner, sabemos que a base tem um custo de 10$ e as laterais custo de 6$.
Assim:
C(a) = 10(base)+6[laterais]
C(a) = 10(2a2) + 6[2(2ah)+2ah]
C(a) = 20a2+6[6ah]
C(a) = 20a2+36ah
Substituindo h = 5/a2 temos,
C(a) = 20a2+36a5/a2 = 20a2+180/a
Esse portanto é custo. Logo a função que desejamos otimizar, ou seja, minimizar é:
C(a) = 20a2+180/a
Aplicamos então a primeira derivada para encontrar os números críticos:
C’(a) = 40a -180/a2
C’(a) = 4(10a -45/a2)
A função C’(a) = 0 quando, 4(10a – 45/a2) = 0. Assim 10a – 45/a2 = (10a3 – 45)/a2
Para que isso seja igual a zero basta 10a3 – 45 = 0.

Portanto,
10a3 =45 a3 = 45/10 a =
Temos então que a = é um número crítico.
Aplicando os limites temos que tal que a tende a zero pela direita e a tende a mais infinito temos: = = + =

Assim, podemos observar que C’(a) < 0 para 0 < a < e C’(a) > 0 para a > , portanto, C está decrescente para todo a à esquerda do número crítico e crescente para todo a a direita.
Assim, a = deve originar um mínimo absoluto. Portanto, o custo