Geometria euclidiana plana

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA ˆ CENTRO DE CIENCIAS NATURAIS E EXATAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ´ CADERNO DIDATICO

Geometria Plana e Desenho Geom´trico e

Jo˜o Batista Peneireiro a Maur´ Fronza da Silva ıcio

Santa Maria, Inverno de 2008 (Revis˜o) a

Apresenta¸˜o ca
Prezado leitor, estas anota¸˜es de Geometria Euclidiana Plana s˜o material de notas co a de aula da disciplinade Geometria Plana e Desenho Geom´trico do Curso de Matem´tica e a da UFSM. Elas servem de s´ ıntese para os t´picos tratados na disciplina e nem de longe o pretendem ser completas e sem falhas. Como orienta¸˜o para o uso destas notas, queremos chamar a aten¸˜o para a necessica ca dade de dar-se uma introdu¸˜o sobre o m´todo dedutivo, com ˆnfase ao racioc´ l´gico e ca e e ınio o as regras de l´gicaque s˜o, em geral, utilizadas ao longo de todo curso. Aten¸˜o especial o a ca deve ser dada ao m´todo de redu¸˜o ao absurdo (“reductio ad absurdum”). e ca Ao ler este texto, o leitor deve estar municiado de l´pis para poder acoma panhar o racioc´ ınio com esquemas (desenhos). Os desenhos s˜o dispens´veis a a para as demonstra¸˜es apresentadas, mas revelam-se um bom aux´ para o co ılioentendimento das mesmas. Lembre-se, toda demonstra¸˜o dever´ ser indeca a pendente dos desenhos, o uso destes ´ somente um auxiliar util. Argumenta¸˜es e ´ co baseadas em desenhos podem levar a resultados absurdos (veja o surpreendente Apˆndice e A). Estas anota¸˜es constituem uma vers˜o corrigida e ampliada daquelas do inverno de co a 2001. Todas as sugest˜es que visem a melhoria deste texto s˜o bem vindas,erros que o a eventualmente existam no texto devem ser debitados, exclusivamente, aos autores.

Jo˜o Batista Peneireiro (peneireiro@smail.ufsm.br) a Maur´ Fronza da Silva (mfronza@smail.ufsm.br) ıcio

Lista de S´ ımbolos
A, B, C, ... r, s, t, ... AOB, O α, β, γ, ... 1, 2, 3, ... AB AB ABC, ∆ABC − → AB γrP x (A) ponto reta a ˆngulo de v´rtice O ou medida de ˆngulo e a a ˆngulo ou medida deˆngulo a a ˆngulo ou medida de ˆngulo a segmento de extremidades A e B ou reta que passa por A, B medida do segmento AB triˆngulo de v´rtices A, B, C a e

semi-reta de origem A contendo B semiplano determinado por r contendo P coordenada do ponto A em rela¸˜o a um sistema de ca coordenadas da reta C (O, r) circunferˆncia de centro O e raio r e AB ≡ CD segmento AB congruente ao segmento CD AOB ≡ CO D ˆngulo AOB congruente ao ˆngulo C O D a a ABC ≡ XY Z triˆngulo ABC congruente ao triˆngulo XY Z, e a cona a gruˆncia ´ a aplica¸˜o tal que A → X, B → Y, C → Z e e ca r s retas r, s s˜o paralelas a r⊥s retas r, s s˜o perpendiculares a A1 A2 ...An pol´ ıgono de v´rtices A1 , A2 , ..., An e ABCD quadril´tero cujos lados opostos s˜o AB, CD; e AC, BD a a ABC ≈ XY Z triˆngulo ABC semelhante aotriˆngulo XY Z, e a semela a han¸a ´ a aplica¸˜o tal que A → X, B → Y, C → Z c e ca AB m(AB) tAB ln an a (R) A−C −B arco AB medida do arco AB (em graus) a ˆngulo em que um dos lados passa por B e o outro ´ a e semi-reta t lado de um pol´ ıgono regular de n lados inscrito em uma circunferˆncia e ap´tema de um pol´ o ıgono regular de n lados inscrito em uma circunferˆncia e a ´rea da regi˜o poligonal R aC est´ entre A e B. a

Sum´rio a
1 A Origem da Geometria e o M´todo Axiom´tico e a 9

2 Axiomas de Incidˆncia e da Ordem e 13 2.1 Axiomas de incidˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 2.2 Axiomas da ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Exerc´ ıcios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ˆ3 Axiomas Sobre Medida de Segmentos e de Angulos 3.1 Axiomas sobre medida de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 3.2 Angulo e Axiomas sobre medida de ˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3 Exerc´ ıcios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 28 32

4 Axiomas de Congruˆncia e 35 4.1 Axiomas sobre congruˆncia de segmentos, ˆngulos e...
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