Geometria analica

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Estudo Dirigido – 2012

Estudo Dirigido 01 – Semana de 27.02 a 03.03
Neste texto pretende-se recordar alguns conceitos e técnicas que serão úteis para as disciplinas da primeira série. Não se trata de um compêndio teórico, mas sim de uma explanação simples com alguns exemplos que proporcionem ao aluno relembrar a fatoração de expressões algébricas e operações com frações. Ao final destaapresentação é proposta uma série de exercícios para a fixação dos temas abordados. 1. FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica significa reescrevê-la como um produto. Exemplo 01: Para fatorar a expressão 7xy 3  x 2 y 2  8x 4 y 3  x 3 y5 , coloca-se em evidência o fator xy 2 (comum a todos os termos da expressão). Assim, pode-se reescrever a expressão da seguinte maneira:

xy 2  7 y  x  8x3 y x 2 y 3 

 A seguir apresentam-se algumas fatorações que podem ser úteis:

a 2  b2  a 3  b3  a 3  b3 

a a a

 b  a  b 

  b  a

 b  a 2  ab  b 2
2

 ab

  b 
2

(I)

a

 b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3

Observa-se que não há fórmula de fatoração para a expressão a  b . De fato, a  b não pode ser fatorada utilizando números reais.
2 2 22

O polinômio p  x   ax 2  bx  c , com raízes reais x1 e x2 pode ser fatorado como:

p  x   ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2 
Exemplo 02: Para fatorar p  x   3x2  15x +18 determina-se inicialmente as raízes da equação:

3x2  15x +18  0  3  x2  5x +6   0  x1  2e x2  3 .
Deste modo, pode-se escrever o polinômio dado na forma fatorada:

p  x   3x2  15x  18 3  x  2  x  3
Exemplo 03: Utilizando ( I ), pode-se fatorar q  x   x  16 da seguinte maneira:
6



x6  16 

x 
3

2

  4   x6  16 
2

x

3

 4 x3  4 .






1

EFB102 - Geometria Analítica e Álgebra Linear

Estudo Dirigido – 2012

Exemplo 04: A expressão 64a  27b pode ser escrita como:
3 3

64a3  27b3 

 4a 

3

  3b 
3

 4a 

3b  16a 2  12ab  9b2






CUIDADO: Não cometa mais estes erros:

a 2  b2 

a

 b

2

ERRADO ERRADO

a 2  b2 

a

 b  a  b 

CERTO CERTO

  x  y   x  y
2. FRAÇÕES
a b

  x  y   x  y

 a dividendo ou numerador   b divisor ou denominador

, com b  0 .

Simplificações de frações: Quando se divide o numerador e odenominador pelo mesmo elemento (diferente de zero) não se altera a fração. Este conceito é utilizado na simplificação de frações. Exemplo 05: A fração

36 36  12 3 36 pode ser escrita de maneira simplificada:   . 48 48  12 4 48



2 x2 , com x. y  0 , pode ser escrita de maneira simplificada: Exemplo 06: A fração 4 xy

2x 2 2  x  x x com x. y  0   4 xy 4  x  y 2 y
 Exemplo07: Pode-se escrever

14a bc , com a.b.c  0 , da forma: 21ab2c

2

14a 2 bc 2  7  a  a  b  c 2a , com a.b.c  0   21ab 2 c 3  7  a  b  b  c 3b



Pode-se também simplificar frações, aplicando os casos de fatoração nos termos da fração e cancelando os fatores comuns. Exemplo 08: a)

5 x  10 5( x  2) x  2   15 15 3

b)

a 2  4 ( a  2)( a  2)   a  2 , com a 2 a2 a2

c)

x y x y 1   , com x + y  0 2 2 x y x  2xy  y (x  y)
2



2

EFB102 - Geometria Analítica e Álgebra Linear

Estudo Dirigido – 2012

Vale observar que nas simplificações deve-se tomar cuidado para não cometer o erro de 2 dividir por zero. A equação x  x têm duas soluções: x1  0 e x2  1 , mas pode-se cometer o seguinte erro:

x2  x 

x2  1  x  1 .Deste modo encontra-se apenas uma solução!!!!!! x

Adição e subtração de frações:

a c ac ,b0   b b b a c ad  bc , b.d  0   b d bd
Exemplo 09: a)

a c ac   , b0 b b b a c ad  bc   , b.d  0 b d bd

4 2 4  3  2  5 22    5 3 15 15

b)

4 2 4  3  2 5 2    5 3 15 15

c)

2 3 2  x  3  1 2x  3 , com x  0. Nota-se que, neste caso, o denominador não ...
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