Geometra analitica

A Geometria Analítica foi criada por René Descartes (1596 – 1650), no intuito de relacionar a álgebra com a Geometria, possibilitando um estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Com o auxílio da Geometria Analítica (GA) podemos, através de métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e de figuras. No estudo da GA trabalharemos constantemente com o Plano Cartesiano.

Distância entre dois pontos

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos.

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Ao analisarmos a construção acima, podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC xB – xA
Cateto: segmento BC yB – yA
Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (xB – xA)² + (yB – yA)²

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Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.

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Podemos notar que no eixo x a distância entre xA:xM e xM:xB são iguais e no eixo y a distância entre yA:yM e yM:yB são iguais.

Podemos concluir que:
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Para constatarmos se três pontos estão alinhados, podemos montar a seguinte matriz dos coeficientes:
|x1 y1 1 | =0 |
|x2 y2 1 | |
|x3 y3 1 | |

Calculando o determinante e obtendo igualdade 0, podemos afirmar que os pontos estão alinhados.

Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.
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A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.