GAAV

´
Geometria Anal´ıtica e Algebra
Vetorial - GAAV

Lista III - Vetores no plano e no espa¸co
1. Dados A = (0, 1, 3), B = (1, 2, 4) e C = (0, −1, 2), determine:
(a) A distˆ ancia entre os pontos A e B.
−→
(b) Um vetor unit´ ario na dire¸c˜ ao do vetor W = AC.
−−→
−→
(c) O ˆ angulo θ entre os vetores V = AB e W = AC.
(d) Se o ˆ angulo θ ´e reto, agudo ou obtuso.
2. O quadril´ atero de v´ertices (n˜ ao necessariamente consecutivos) A = (4, −1, 1), B = (9, −4, 2), C =
(4, 3, 4) e D = (9, 0, 5) ´e um paralelogramo? E se D = (4, −21, −14)? (DICA: Para ser paralelogramo
−−→ −→
−−→
um dos vetores AB, AC ou AD tem que ser igual `a soma dos outros dois.)
3. Sejam os pontos A = (−1, −1, 2), B = (2, 1, 1) e C = (m, −5, 3). Para que valor de m o triˆangulo
ABC ´e retˆ angulo em A?
4. Dados os pontos P = (3, 2, 0), Q = (0, 4, 3) e R = (1, 0, 2), calcule:
(a) A ´ area do paralelogramo que tem v´ertices consecutivos Q, R e P .
(b) A ´ area do triˆ angulo P QR.
(c) O volume do paralelep´ıpedo cuja base ´e o paralelogramo do item (a) e uma das suas arestas ´e dada pelo vetor U = (−1, 0, 2).
5. Os pontos A = (1, 3, −2), B = (2, 10, 0) e C = (1, 2, 2) s˜ao colineares? E se B = (1, 6, −14)?
6. Considere os pontos A = (−3, 0, 4), B = (−3, −1, 0) e C = (−1, −4, 3).
(a) Determine os pontos m´edios, M e N , dos segmentos AC e BC, respectivamente.
−−→
−−→
(b) Verifique que M N ´e paralelo a AB.
(c) Determine o ponto D de forma que A, B, D e C sejam v´ertices consecutivos de um paralelogramo.
7. Verifique se os pontos A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1) s˜ao coplanares.
8. Sejam V e W vetores tais que V = 5, W = 2 e o ˆangulo entre V e W ´e 60◦ . Determine
X = xV + yW de modo que X × V = ¯0 e X · W = 12.
9. Para qual valor de m os pontos P = (0, 1, 1), Q = (1, 0, 2), R = (1, −2, 0) e S = (−2, m, −2) s˜ ao coplanares?
Bons estudos!
Gabarito Lista III - Vetores
1. (a) dist(A, B) =

√

3.

−2 √
(b) Wu = 0, √
, −15 .
5

(c) θ = arccos −

√
15
5

.

(d) θ ´e obtuso.
−−→