Funções com variaveis

CÁLCULO TÓPICO – FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

D é dito aberto se não contiver os pontos de fronteira. D é dito fechado se contiver os pontos de fronteira. D num espaço bidimensional é dito limitado se couber dentro de um retângulo. D é ilimitado se não couber dentro do retângulo.
Obs.: p/ tridimensional ( caixa em vez de retângulo.

Para uma função de uma variável, há os limites laterais em um ponto x0. E no caso de uma função de duas variáveis, onde o Domínio é uma região? Só há sentido em definir limite lateral ao longo de uma curva C. Tomando C como uma curva paramétrica suave no plano do domínio D, então x = x(t) e y = y(t) Se t = t0, temos x = x(t0) e y = y(t0). Então [pic]

[pic]

Exemplos:

1) Se [pic], determine [pic].

eixo x [pic]

2) [pic]

eixo y [pic]

3) [pic]

reta [pic]

4) [pic]

reta [pic]

5) [pic]

parábola [pic]

6) [pic]

Podemos observar que o limite pode depender do caminho a ser seguido.

Definição de limite de uma função de duas variáveis.

Seja f uma função de duas variáveis. Escrevemos [pic], se dado qualquer número ε > 0 existe um δ tal que |f (x, y) – L| < ε sempre que (x, y) pertencer ao domínio de f e [pic] Obs: 1) As propriedades de limite da função de uma variável são válidas para funções de duas ou mais variáveis.

2) Se o lim f (x , y) deixar de existir quando (x, y) ( (x0, y0) ao longo de uma curva no domínio de f, ou se f (x, y) tiver diferentes limites quando (x, y) ( (x0, y0) ao longo de duas suaves diferentes no domínio de f, então o limite de f (x, y) não existe quando (x, y) ( (x0, y0).

Exemplo

[pic] não existe, pois existem pelo menos duas curvas, eixo x e reta y – x,