função

Dentre todas as relações em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Se A e B são dois conjuntos não vazios, uma aplicação f no produto cartesiano A×B é uma relação em A×B, que, para cada xinA, existe yinB tal que (x,y)inf,

fig e, além disso, se (x,y1)inf e (x,y2)inf, então y1=y2.

fig
Uma notação bastante comum para uma aplicação f definida no produto cartesiano A×B é f:AtoB.

Observação: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B.

Exemplo: Nem toda relação no produto cartesiano R² é uma aplicação em R², como o conjunto K={(x,y)inR²:x²+y²=1}. Graficamente, temos:

fig
Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,... e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto B é um subconjunto do conjunto R dos números reais.

Elementos de uma aplicação
Seja f uma aplicação em A×B, denotada por f:AtoB. O gráfico de f, às vezes usado como a definição de função, é definido por:

graf(f) = { (x,y)inA×B: xinA, yinB, y=f(x) }
O conjunto A recebe o nome de domínio de f, denotado por Dom(f). O conjunto B recebe o nome de contradomínio de f, denotado por Codom(f). A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o conjunto:

Im(f) = {yinB: existe xinA tal que y=f(x) }
Exemplo: A função quadrática f:Rto[0,∞) pode ser escrita na forma:

f = { (x,y)inR×[0,∞): xinR, yinR, y=x² } ou na forma f:Rto[0,∞) definida por f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,∞).

Exercícios:

Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}. Verificar se a relação f em A×B, definida por