Fun o Quadr tica 2015 Olga

Engenharia Civil/Mecânica
Cálculo 1 – 1º semestre 2015
Profa Olga

Função Quadrática
Uma função f : R  R chama-se função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a  0, tais que f(x) = ax2 + bx + c para x  R.
São exemplos de funções quadráticas:
1) f(x) = x2 – 4x + 2
2) f(x) = 3x2 – x
3) f(x) = x2 – 4.
Gráfico:
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
Exemplos:
1) f(x) = x2 + x x -3
-2
-1
-1/2
0
1
3/2
2

f(x)

2) y = -x2 + 1 x -3
-2
-1
0
1
2
3

y

Observe que;
1) as abscissas dos pontos onde a parábola intercepta o eixo Ox são as raízes da função 2) A ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é o valor do coeficiente c da função
3) O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola
Concavidade da parábola:
O coeficiente a da função quadrática determina qual é a concavidade da parábola.
Demonstra-se que: a>0  concavidade para cima a<0  concavidade para baixo
Raízes ou zeros de uma função quadrática f(x)= ax2 + bx + c ax2 + bx + c = 0
 = b2 – 4.a.c
b  x= 2a
 >0  x1  x2 ( duas raízes reais distintas)
 = 0  x1 = x2 ( duas raízes reais iguais )
 < 0  não existe raiz real.

Exemplos:
1) f(x) = 2 x2- 3x + 1
 = (-3)2 – 4 . 2 . 1
 =9–8=1
3  1 3 1 x= =
2 .2
4
3 1 x1 =
=1
4
3 1 2 1 x2 =
= =
4
4 2
Portanto as raízes da função são: 1 e
2) f(x ) = 4x2 – 4x +1
 = ( -4)2- 4. 4 . 1

1
2

 = 16 – 16 = 0

b
4
4
1
=
= =
2a 2.4 8
2
Existe apenas uma raiz com multiplicidade 2( raiz dupla)

x1 = x2 =

3)f(x) = 2x2 + 3x + 4
 = 32 – 4 . 2 . 4 = 9 – 32 = (- 23)
Como em R não existe a raiz quadrada de número negativo, essa função não tem raiz real.

Graficamente, as raízes ou zeros de função são as abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo Ox..
Logo, conhecendo a concavidade da parábola e as raízes da função, podemos esboçar o seu gráfico.Vamos resumir da seguinte forma:
Seja f(x) = ax2+ bx + c uma função quadrática:
1)

 >0

2)  = 0

3)  < 0

Vértice da parábola; V ( xv , yv)
O vértice de