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0

π
6



π
4

π
3

π
2

π
1 + cos(2x)
2

1 − cos(2x)
2

ex + e−x
2

f �� (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n
2!
n!

ch(x) =

ex − e−x
sh(x) =
2

• cos2(x) =

• sen2 (x) =

2012/2013

MIEGSI
C´lculo
a

a

a

n≥1

ar

n−1

a
, |r| < 1.
=
1−r

NB: Estamos a assumir que todas as express˜es s˜o calculadas apenas quando fazemsentido!
o
a

n≥1

�1
• S´ries de Riemann: a s´rie
e
e
converge se r > 1 e diverge se r ≤ 1.
nr

• Soma da s´rie geom´trica:
e
e



• Seja f : [a, b] −→ R. O comprimento do gr´fico de fentre (a, f (a)) e (b, f (b)) ´ dado por
a
e
b�
� (x)]2 dx.
1 + [f

S´ries num´ricas
e
e



• Sejam f, g : [a, b] −→ R tais que f (x) ≤ g (x). A ´rea delimitada pelos gr´ficos de f e g ´dada
a
a
e
�b
[g (x) − f (x)] dx.
por

´
Areas e comprimentos de curva

Pn,a (x) = f (a) + f � (a)(x − a) +

Polin´mio de Taylor de grau n da fun¸˜o f em torno de x = a:
o
caPolin´mio de Taylor
o

ln(xa ) = a ln(x)

ln(x/y ) = ln(x) − ln(y )

ex−y = ex / ey

(ex )y = exy

ln(xy ) = ln(x) + ln(y )

ex+y = ex ey

1
2


2
31
0
sen x 0
2
2


1
3
2cos x 1
0 -1
2
2
2
Fun¸˜es exponenciais, logaritmicas e hiperb´licas
co
o

x

Trigonometria

Formul´rio
a

Universidade do Minho
Departamento de Matem´tica e Aplica¸˜es
a
co

�n≥ 1

vn converge =⇒ ,



n≥ 1

un converge. 2.



n≥ 1

un diverge =⇒



n≥ 1

vn diverge.







vn converge ⇒

n≥1 un diverge ⇒

n≥ 1

n≥ 1

n≥ 1

un ´divergente.
e

n≥ 1





n≥ 1

n≥ 1

un ´ divergente.
e

un ´ convergente.
e

n≥ 1

vn converge.

un diverge.
n≥ 1

n≥ 1




un converge ⇒

vn diverge ⇒



n≥ 1un .



n≥ 1

un .

´ convergente.
e

[Crit´rio de Leibnitz] Seja (an )n uma sucess˜o decrescente tal que lim an = 0. Ent˜o
e
a
a



n≥ 1

(−1)n an

[Crit´rio do...
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