fogo

ode ser encontrada nos Capítulos 1, 2 e 3 da referência [3].

Obviamente isto implica que, nos pontos onde f é contínua a Série de Fourier converge para a própria imagem de f; onde f é descontínua, por exemplo onde f apresenta um salto, a Série de Fourier converge para a média das imagens nos extremos do salto.

Exemplo 1.7 Considere a representação em Série de Fourier da onda quadrada, mostrada na Figura 1.4 (página 1), obtida no Exemplo 1.5 (página 10). Pelo Teorema de Fourier temos que:

(a) em x = pi 2 a função é contínua e tem imagem f(

2) = 1, logo sua representação em

Série de Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para 1;

(b) em x = pi a função é descontínua (apresenta um salto), logo sua representação em Série de Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para a média dos limites laterais em x = pi, logo converge para 1 2. Observe na Figura 1.4 que o mesmo comportamento de convergência

ocorre em x = 0,±pi,±2pi,
1.5 Simetria ondulatória

Figura 1.7: Uma função par.

Definição 1.9 (Função ímpar) : uma função f : R −→ R é dita ímpar se

Figura 1.8: Uma função ímpar.

Observações

(i) A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função identicamente nula f(x) = 0, ou seja, a função cuja imagem é zero para todo o domínio;

(i) se f é uma função ímpar que contenha 0 (zero) no domínio, então obrigatoriamente teremos f(0) = 0;

(i) a grande maioria das funções que ocorrem não são nem pares nem ímpares. Estamos particularmente interessados nas funções pares e ímpares pois suas representações em séries de Fourier aparecem na resolução de equações diferenciais parcias importantes da Física- Matemática e Engenharia.

1.5.1 Propriedades das funções pares e ímpares

A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais listaremos a seguir. Tais propriedades simplificarão bastante nosso trabalho na representação em Séries de Fourier de funções pares e