Fisica

Aula 7 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 1. Integração de funções exponenciais:
∫exdx = ex + C , pois ( ex)´= ex.
Exemplos:
a) ∫4 exdx
= 4 ∫exdx = 4. ex + C

b) ∫e2xdx, pela regra de substituição: u = 2x e du= 2 dx → dx = du/2
Assim, ∫eu.du/2 =
∫eu. du/2 =
1/2 ∫eu. du =
1/2.eu + C =

Substituindo u por 2x, temos:
1/2.e2x + C

c) ∫x.e3x²dx , pela regra de substituição: u = 3x² e du= 6x dx → x.dx = du/6
Assim, ∫x.e3x²dx = ∫e3x.xdx =
∫eu du/6 = eudu/6 =
1/6∫eudu
1/6 eu + C

Substituindo u por 3x², temos:
1/6 e3x² + C

d) ∫x².e3x³dx, pela regra de substituição: u = 3x³ e du= 9x²dx → x².dx = du/9
Assim, ∫x².e3x³dx = ∫e3x³x²dx
∫e3x³x²dx =
= ∫eu du/9 =eudu/9=
1/9∫eudu
= eu/9 1/9eu + C

Substituindo u por 3x3, temos: e3x³/9 1/9eu + C

Exercícios:

a) ∫ 5 exdx = b) ∫ e3xdx = c) ∫ x.e5x²dx = d) ∫ x² e4x³dx = e) ∫ 2x ex²dx =
Toda integral da forma ∫dxx será dada por ln IxI + C

Exemplos:

a) ∫2x/1 + x² . dx ∫2x1+x², fazemos u = 1 +x². Então, du= 2xdx. Temos

∫2x/1 + x² . dx ∫2x1+x² = ∫ du/uduu =

= ln IuI + C

Substituindo u por 1+ x², temos
= ln I 1+x²I + C

b) ∫cotan y dy = ∫1/tg y dy =
∫1senycosy∫ 1/seny/cos y dy =
∫cosy/ sen y dy , u = sen y → du = cos y dy

Assim:
∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por sen y, temos
= ln I sen yI + C

c) ∫2x / x² + 5 dx = ∫2xx²+5 u = x² +5 → du = 2xdx

Assim:
∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por x² + 5, temos
= ln I x² + 5I + C

d) ∫ 4/x .dx = 4 ∫ dx/x
4. ln IxI + C

e) ∫ tgx dx =

∫sen x/cos x dx = u = cos x → du = -sen x dx , ou seja –du = senx dx

∫ - du/u =
-1 ∫du/u =
- ln IuI + C

Substituindo u por cos x, temos
= - ln I cos x I + C

Exercícios:

a) ∫4x³dx/(2 +x4) b) ∫2x dx/(x2+8) c) ∫ 2/x dx d) ∫secydy e) ∫x2/(1+x³)dx
Método de integração por partes:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,
[f(x).g(x)]´ = f(x).